Question

1．如圖，點P在圓O外，PA與圓O相切于A點，OP與圓周相交于C點，點B與點A關于直線PO對稱，已知OA=4，∠POA=60°求：
（1）弦AB的長；
（2）陰影部分的面積（結果保留π）．

Answer 1

分析 （1）設AB交OP于D，如圖，根據切線的性質得∠PAO=90°，再根據含30度的直角三角形三邊的關系可計算出PA=$\sqrt{3}$OA=4$\sqrt{3}$，PO=2OA=8，由于∠O=60°，接著根據對稱的性質得OP⊥AB，AD=BD，則可利用面積法計算出AD=2$\sqrt{3}$，于是得到AB=2AD=4$\sqrt{3}$；
（2）根據扇形的面積公式，利用陰影部分的面積=S_△OAP-S_扇形AOC進行計算即可．

解答 解：（1）設AB交OP于D，
∵PA為⊙O的切線，
∴OA⊥PA，
∴∠PAO=90°，
∵∠O=60°，PA=$\sqrt{3}$OA=4$\sqrt{3}$，PO=2OA=8，
∵點B與點A關于直線PO對稱，
∴OP⊥AB，AD=BD，
∴AD=OAsin60°=4×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=2$\sqrt{3}$，
∴AB=2AD=4$\sqrt{3}$；

（2）陰影部分的面積=S_△OAP-S_扇形AOC
=$\frac{1}{2}$×4×4$\sqrt{3}$-$\frac{60•π•{4}^{2}}{360}$=8$\sqrt{3}$=8$\sqrt{3}$-$\frac{8}{3}$π．

點評 本題考查了切線的性質：圓的切線垂直于經過切點的半徑；運用切線的性質來進行計算或論證，常通過作輔助線連接圓心和切點，利用垂直構造直角三角形解決有關問題．也考查了扇形面積公式．