Question

7．如圖，正五邊形ABCDE中，連接AC、AD、CE，CE交AD于點F，連接BF，BF與AC交于點P．
（1）求證：四邊形ABCF是菱形；
（2）求證：AC²+BF²=4AB²；
（3）若AB=2，求△CDF的周長．

Answer 1

分析 （1）根據正多邊形的內角和定理求出內角的度數，根據菱形的判定定理證明；
（2）根據菱形的對角線互相垂直、勾股定理證明；
（3）根據正五邊形的性質、黃金分割的概念計算即可．

解答 （1）證明：正五邊形的內角的度數為：$\frac{（n-2）×180°}{5}$=108°，
∵DE=DC，
∴∠DEC=36°，
∴∠AEC=72°，
∴∠BAE+∠AEC=180°，
∴AB∥CF，
同理，BC∥AF，
∴四邊形ABCF是平行四邊形，
∵BA=BC，
∴四邊形ABCF是菱形；
（2）證明：四邊形ABCF是菱形，
∴AC⊥BF，
由勾股定理得PB²+PC²=BC²，
∴AC²+BF²=（2PC）²+（2PB）²=4PC²+4PB²=4BC²，
∴AC²+BF²=4AB²；
（3）解：∵四邊形ABCF是菱形，
∴CF=AF，
∴△CDF的周長等于CF+DF+CD，
即△CDF的周長等于AD+CD，
∵在正五邊形ABCDE中，
∴CD²=DF•DA，即AD•（AD-2）=4，
整理得，AD²-2AD-4=0，
解得，AD=$\sqrt{5}$+1，
∴△CDF的周長等于$\sqrt{5}$+3．

點評 本題考查的是正多邊形與圓，掌握正多邊形的性質、黃金分割的概念、勾股定理的應用是解題的關鍵．