Question

17．已知：如圖，AC是⊙O的直徑，BC是⊙O的弦，點P是⊙O外一點，∠PBA=∠C．
（1）求證：PB是⊙O的切線．
（2）若OP∥BC，且OP=8，∠C=60°，求⊙O的半徑．

Answer 1

分析 （1）連接OB，求出∠ABC=90°，∠PBA=∠OBC=∠C，推出∠PBO=90°，根據切線的判定推出即可；
（2）證△ABC≌△PBO（ASA），進而得出⊙O的半徑．

解答 （1）證明：連接OB，
∵AC是⊙O直徑，
∴∠ABC=90°，
∵OC=OB，
∴∠OBC=∠C，
∵∠PBA=∠C，
∴∠PBA=∠OBC，
即∠PBA+∠OBA=∠OBC+∠ABO=∠ABC=90°，
∴OB⊥PB，
∵OB為半徑，
∴PB是⊙O的切線；

（2）解：∵OC=OB，∠C=60°，
∴△OBC為等邊三角形，
∴BC=OB，
∵OP∥BC，
∴∠CBO=∠POB，
∴∠C=∠POB，
在△ABC和△PBO中
∵$\left\{\begin{array}{l}{∠C=∠POB}\\{BC=OB}\\{∠ABC=∠OBP}\end{array}\right.$，
∴△ABC≌△PBO（ASA），
∴AC=OP=8，
即⊙O的半徑為4．

點評 本題考查了等腰三角形性質、全等三角形的性質和判定、切線的判定等知識點的應用，正確得出△ABC≌△PBO（ASA）是解題關鍵．