Question

7．如圖，已知拋物線y=ax²+bx+c（a＞0，c＜0）交x軸于點A，B，交y軸于點C．
（1）若△ABC為直角三角形，求a•c的值；
（2）在a=1的條件下，
①若b=-2，c=-3，點D為拋物線上的動點，求滿足△ABD為直角三角形的點D的坐標．
②若過點A、B、C三點的圓交y軸于另一點E，證明：不論b，c取何值，點E為定點．

Answer 1

分析 （1）如圖1中，設A（x₁，0），B（x₂，0），由△AOC∽△COB，得$\frac{OA}{CO}$=$\frac{CO}{OB}$，即OC²=OA•OB，因為OC=-c，OA•OB=-x₁•x₂，x₁x₂=$\frac{c}{a}$，可得c²=-$\frac{c}{a}$，可得ac=-1．
（2）①如圖2中，設AB的中點為K（1，0），D（m，m²-2m-3）．根據KD=2，可得方程（m-1）²+（m²-2m-3）²=4，列方程即可．
②如答圖3，連接AD、BC．由△AOE∽△COB，得$\frac{OE}{OB}$=$\frac{OA}{OC}$，設A（x₁，0），B（x₂，0），由題意OC=-c，x₁x₂=c，求出OE的長即可解決問題．

解答 （1）解：如圖1中，設A（x₁，0），B（x₂，0），

∵△ABC是直角三角形，
∴∠ACB=90°，
∵∠ACO+∠CAO=90°，∠CAB+∠CBO=90°，
∴∠ACO=∠CBO，∵∠AOC=∠BOC=90°，
∴△AOC∽△COB，
∴$\frac{OA}{CO}$=$\frac{CO}{OB}$，
∴OC²=OA•OB，
∵OC=-c，OA•OB=-x₁•x₂，x₁x₂=$\frac{c}{a}$，
∴c²=-x₁x₁，
∴c²=-$\frac{c}{a}$，
∴ac=-1．

（2）①如圖2中，設AB的中點為K（1，0），D（m，m²-2m-3）．

由題意KD=2，
∴（m-1）²+（m²-2m-3）²=4，
∴m²-2m+1+（m²-2m-3）²=4，
∴m²-2m-3+（m²-2m-3）²=0，
∴（m²-2m-3）（1+m²-2m-3）=0，
∴m²-2m-3=0或m²-2m-2=0，
解得m=1+$\sqrt{3}$或1-$\sqrt{3}$或-1或3，（m=-1或m=3不合題意舍棄）
∴D（1-$\sqrt{3}$，-1），D′（1+$\sqrt{3}$，-1）．

②證明：如答圖3，連接AD、BC．

∵∠ADO=∠CBO，∠DAO=∠BCO，
∴△AOE∽△COB，
∴$\frac{OE}{OB}$=$\frac{OA}{OC}$，
設A（x₁，0），B（x₂，0），
∵已知拋物線y=x2+bx+c（c＜0），∴OC=-c，x₁x₂=c．
∴$\frac{OE}{{x}_{2}}$=$\frac{{x}_{1}}{-c}$，
∴OE=$\frac{-{x}_{1}{x}_{2}}{-c}$=$\frac{-c}{-c}$=1
∴無論b，c取何值，點E均為定點，該定點坐標E（0，1）．

點評 本題考查二次函數綜合題、圓的有關知識、相似三角形的判定和性質、一元二次方程、根與系數的關系等知識，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題，學會用方程的思想思考問題，（2）①中的解方程是難點，本題考查學生綜合應用知識的能力，屬于中考壓軸題．