Question

12．已知：如圖，⊙O₁與⊙O₂內切于點T，⊙O₁的弦TA、TB交⊙O₂于點C和D，若DC=5，$\frac{TC}{TA}$=$\frac{2}{3}$，求AB的長．

Answer 1

分析 過點T作兩圓的公切線MN，連接AB，根據弦切角定理得到∠A=∠BTN，∠TCD=∠NTD，等量代換得到∠A=∠TCD，根據平行線的判定得到CD∥AB，推出△TCD∽△TAB，根據相似三角形的性質即可得到結論．

解答 解：過點T作兩圓的公切線MN，連接AB，
∵⊙O₁的弦TA、TB交⊙O₂于點C和D，
∴∠A=∠BTN，∠TCD=∠NTD，
∴∠A=∠TCD，
∴CD∥AB，
∴△TCD∽△TAB，
∴$\frac{CD}{AB}$=$\frac{TC}{TA}$=$\frac{2}{3}$，
∵CD=5，
∴AB=$\frac{15}{2}$．

點評 本題考查了相切兩圓的性質，切線的性質，弦切角定理，相似三角形的判定和性質，正確的作出輔助線是解題的關鍵．