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則

由△CDH∽△B₁DB，得即點C到平面AB₁D的距離是

解法二：建立空間直角坐標系D―xyz，如圖，（I）證明：連接A₁B，設A₁B∩AB₁ = E，連接DE.

設A₁A = AB = 1，

∴AD⊥平面B₁BCC₁，又AD平面AB₁D，∴平面B₁BCC₁⊥平面AB₁D.

在平面B₁BCC₁內作CH⊥B₁D交B₁D的延長線于點H，則CH的長度就是點C到平面AB₁D的距離.

所以，二面角B―AB₁―D的大小為

（III）解：∵平面B₁BCC₁⊥平面ABC，且AD⊥BC，

在△ABE中，，在Rt△DFG中，，

設A₁A = AB = 1，在正△ABC中，DF=

∵DE平面AB₁D，A₁C平面AB₁D，∴A₁C∥平面AB₁D.

（II）解：在面ABC內作DF⊥AB于點F，在面A₁ABB₁內作FG⊥AB₁于點G，連接DG.∵平面A₁ABB₁⊥平面ABC，  ∴DF⊥平面A₁ABB₁，

∴FG是DG在平面A₁ABB₁上的射影，  ∵FG⊥AB₁， ∴DG⊥AB₁

∴∠FGD是二面角B―AB₁―D的平面角

9、【解析】解法一（I）證明：連接A₁B，設A₁B∩AB₁ = E，連接DE.

∵ABC―A₁B₁C₁是正三棱柱，且AA₁ = AB，∴四邊形A₁ABB₁是正方形，

∴E是A₁B的中點，又D是BC的中點，∴DE∥A₁C.