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3．已知是空間二向量，若的夾角為 　　　　　　.

2．設A、B、C、D是空間不共面的四點，且滿足

　　 則△BCD是(　　 )

　　 A．鈍角三角形　　 B．直角三角形　 C．銳角三角形　 D．不確定

1．已知向量的夾角為(　　 )

　　 A．0°　 B．45° C．90°　 D．180°

[例1]下列所表示的空間直角坐標系的直觀圖中，不正確的是(　)

錯解：B、C、D中任選一個

錯因：對于空間直角坐標系的表示不清楚。有共同的原點，且兩兩垂直的三條數軸，只要符合右手系的規定，就可以作為空間直角坐標系．

正解：易知(C)不符合右手系的規定，應選(C)．

　[例2]已知點A(－3，－1，1)，點B(－2，2，3)，在Ox、Oy、Oz軸上分別取點L、M、N，使它們與A、B兩點等距離．

錯因：對于坐標軸上點的坐標特征不明；使用方程解題的思想意識不夠。

分析：設Ox軸上的點L的坐標為(x，0，0)，由題意可得關于x的一元方程，從而解得x的值．類似可求得點M、N的坐標．

解：設L、M、N的坐標分別為(x，0，0)、(0，y，0)、(0，0，z)．

　由題意，得

　(x+3)²+1+1＝(x+2)²+4+9，

　9+(y+1)²+1＝4+(y－2)²+9，

　9+1+(z－1)²＝4+4+(z－3)²．

分別解得，

故

評注：空間兩點的距離公式是平面內兩點的距離公式的推廣：若點P、Q的坐標分別為(x₁，y₁，z₁)、(x₂，y₂，z₂)，則P、Q的距離為

必須熟練掌握這個公式．

[例3]設，，且，記，求與軸正方向的夾角的余弦值

錯解：取軸上的任一向量，設所求夾角為，

∵

∴，

即余弦值為

錯因：審題不清。沒有看清“軸正方向”，并不是軸

正解：取軸正方向的任一向量，設所求夾角為，

∵

∴，即為所求

[例4]在ΔABC中，已知＝(2,4,0),＝(－1,3,0)，則∠ABC＝＿＿＿

解： 　　　　　　　　　　　　　　

=

∴∠ABC＝135°

[例5]已知空間三點A(0,2,3),B(－2,1,6),C(1,－1,5)，

⑴求以向量為一組鄰邊的平行四邊形的面積S；

⑵若向量分別與向量垂直，且||＝，求向量的坐標

分析：⑴

∴∠BAC＝60°，

⑵設＝(x,y,z)，則

解得x＝y＝z＝1或x＝y＝z＝－1，∴＝(1,1,1)或＝(－1，－1，－1).

[例6]已知正方體的棱長為，是的中點，是對角線的中點，

求異面直線和的距離

解：以為原點，所在的直線分別為軸，軸、軸建立空間直角坐標系，則

，

設，

∵在平面上，

∴，即，

∴，

∵，∴，

解得：，∴，∴．

另外,此題也可直接求與間的距離

設與的公垂線為，且，

設，設，

則，∴，∴，

同理，

∴，∴，

∴，

解得：，，．

4、本節內容對于立體幾何的應用，讀者需自行復習，這里不再贅述。

3、向量運算的主要應用在于如下幾個方面：

(1)判斷空間兩條直線平行(共線)或垂直；

(2)求空間兩點間的距離；

(3)求兩條異面直線所成的角.

2、空間向量作為新加入的內容，在處理空間問題中具有相當的優越性，比原來處理空間問題的方法更有靈活性，所以本節的學習難點在于掌握應用空間向量的常用技巧與方法，特別是體會其中的轉化的思想方法．如把立體幾何中的線面關系問題及求角求距離問題轉化為用向量解決，如何取向量或建立空間坐標系，找到所論證的平行垂直等關系，所求的角和距離用向量怎樣來表達是問題的關鍵．

1、對于這部分的一些知識點，讀者可以對照平面向量的知識，看哪些知識可以直接推廣，哪些需要作修改，哪些不能用的，稍作整理，以便于記憶；

6．兩點間的距離公式：若，，則

5．夾角公式：．