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某醫(yī)院將一專家門(mén)診已診的1000例病人的病情及診斷所用時(shí)間（單位：分鐘）進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，如下表．若視頻率為概率，請(qǐng)用有關(guān)知識(shí)解決下列問(wèn)題．

病癥及代號(hào)	普通病癥A1	復(fù)診病癥A2	常見(jiàn)病癥A3	疑難病癥A4	特殊病癥A5
人數(shù)	100	300	200	300	100
每人就診時(shí)間 （單位：分鐘）	3	4	5	6	7

（1）用ξ表示某病人診斷所需時(shí)間，求ξ的數(shù)學(xué)期望．并以此估計(jì)專家一上午（按3小時(shí)計(jì)算）可診斷多少人；
（2）某病人按序號(hào)排在第三號(hào)就診，設(shè)他等待的時(shí)間為ξ，求P（ξ≤8）；
（3）求專家診斷完三個(gè)病人恰好用了一刻鐘的概率．

如圖有三根針和套在一根針上的n（n∈N^*）個(gè)金屬片．按下列規(guī)則，把金屬片從一根針上全部移到另一根針上． 
1．每次只能移動(dòng)1個(gè)金屬片；                      
2．較大的金屬片不能放在較小的金屬片上面．
現(xiàn)用a_n表示把n個(gè)金屬片從中間的針移到右邊的針上所至少需要移動(dòng)的次數(shù)，請(qǐng)回答下列問(wèn)題：
（1）寫(xiě)出a₁，a₂，a₃，并求出a_n；
（2）記b_n=a_n+1，求和Sn=

1≤i≤j≤n

bibj（i，j∈N^*）；（其中

1≤i≤j≤n

bibj表示所有的積b_ib_j（1≤i≤j≤n）的和．例：

1≤i≤j≤2

b_ib_j=

b

2 1

+b₁b₂+

b

2 2

=

1

2

[（b₁+b₂）²+（

b

2 1

+

b

2 2

）]
（3）證明：

1

7

≤

S1

S2

+

S1S3

S2S4

+…+

S1S3…S2n-1

S2S4…S2n

＜

4

21

（n∈N^*）