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21.(2009江西卷文)數(shù)列的通項(xiàng)，其前n項(xiàng)和為.

(1) 求; 　　　　　　

(2) 求數(shù)列{}的前n項(xiàng)和.

解: (1) 由于,故

,

故　 　　　　()

(2)

兩式相減得

故　　

20.(2009安徽卷文)已知數(shù)列{} 的前n項(xiàng)和，數(shù)列{}的前n項(xiàng)和

(Ⅰ)求數(shù)列{}與{}的通項(xiàng)公式；

(Ⅱ)設(shè)，證明：當(dāng)且僅當(dāng)n≥3時(shí)，＜ 　　　　　

[思路]由可求出，這是數(shù)列中求通項(xiàng)的常用方法之一，在求出后，進(jìn)而得到，接下來用作差法來比較大小，這也是一常用方法。

[解析](1)由于

當(dāng)時(shí),

又當(dāng)時(shí)

數(shù)列項(xiàng)與等比數(shù)列,其首項(xiàng)為1,公比為 　　　　　

(2)由(1)知

由即即

又時(shí)成立,即由于恒成立. 　　　　　

因此,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),

19.(2009全國卷Ⅱ文)已知等差數(shù)列{}中，求{}前n項(xiàng)和. 　　　

解析：本題考查等差數(shù)列的基本性質(zhì)及求和公式運(yùn)用能力，利用方程的思想可求解。

解：設(shè)的公差為，則 　　

即

解得

因此

18.(2009山東卷文)等比數(shù)列{}的前n項(xiàng)和為， 已知對(duì)任意的　 ，點(diǎn)，均在函數(shù)且均為常數(shù))的圖像上.　　 　

(1)求r的值；　　　

(11)當(dāng)b=2時(shí)，記 　　　求數(shù)列的前項(xiàng)和

解:因?yàn)閷?duì)任意的,點(diǎn)，均在函數(shù)且均為常數(shù))的圖像上.所以得,

當(dāng)時(shí),,　　 　

當(dāng)時(shí),,

又因?yàn)閧}為等比數(shù)列,　 所以,　 公比為,　　 所以

(2)當(dāng)b=2時(shí)，,　　

則

相減,得

所以

[命題立意]:本題主要考查了等比數(shù)列的定義,通項(xiàng)公式,以及已知求的基本題型,并運(yùn)用錯(cuò)位相減法求出一等比數(shù)列與一等差數(shù)列對(duì)應(yīng)項(xiàng)乘積所得新數(shù)列的前項(xiàng)和.

17.(2009北京文)設(shè)數(shù)列的通項(xiàng)公式為. 數(shù)列定義如下：對(duì)于正整數(shù)m，是使得不等式成立的所有n中的最小值.

(Ⅰ)若，求；

(Ⅱ)若，求數(shù)列的前2m項(xiàng)和公式；

(Ⅲ)是否存在p和q，使得？如果存在，求p和q的取值范圍；如果不存在，請(qǐng)說明理由.

[解析]本題主要考查數(shù)列的概念、數(shù)列的基本性質(zhì)，考查運(yùn)算能力、推理論證能力、

分類討論等數(shù)學(xué)思想方法．本題是數(shù)列與不等式綜合的較難層次題.

解(Ⅰ)由題意，得，解，得. 　　　

∴成立的所有n中的最小整數(shù)為7，即.

(Ⅱ)由題意，得，

對(duì)于正整數(shù)，由，得.

根據(jù)的定義可知

當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.

∴

.

(Ⅲ)假設(shè)存在p和q滿足條件，由不等式及得.

∵,根據(jù)的定義可知，對(duì)于任意的正整數(shù)m 都有

，即對(duì)任意的正整數(shù)m都成立.

　當(dāng)(或)時(shí)，得(或)，

　這與上述結(jié)論矛盾！

當(dāng)，即時(shí)，得，解得.

∴ 存在p和q，使得；

p和q的取值范圍分別是，..

16.(2009浙江文)設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和，，，其中是常數(shù)．

　 (I) 求及；

　 (II)若對(duì)于任意的，，，成等比數(shù)列，求的值．

解(Ⅰ)當(dāng)，

()

　經(jīng)驗(yàn)，()式成立，　　　

(Ⅱ)成等比數(shù)列，，

即，整理得：，

對(duì)任意的成立，　　　　　

15.(2009遼寧卷理)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且則 　　　　　　　　

解析 ∵S_n＝na₁+n(n－1)d　　 　

　　　　 ∴S₅＝5a₁+10d,S₃＝3a₁+3d

　 　　　∴6S₅－5S₃＝30a₁+60d－(15a₁+15d)＝15a₁+45d＝15(a₁+3d)＝15a₄

答案

_{三、解答題}

14.(2009全國卷Ⅱ理)設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若則　　　　　

解析 為等差數(shù)列，

答案　 9

13.(2009全國卷Ⅱ文)設(shè)等比數(shù)列{}的前n項(xiàng)和為。若，則=　　 ×　　　　

答案：3

解析：本題考查等比數(shù)列的性質(zhì)及求和運(yùn)算，由得q³=3故a₄=a₁q³=3

12.(2009北京文)若數(shù)列滿足：，則　　　　　 ；前8項(xiàng)的和　　　　　 .(用數(shù)字作答)

答案　 225

.解析　 本題主要考查簡單的遞推數(shù)列以及數(shù)列的求和問題. 　　　屬于基礎(chǔ)知識(shí)、基本運(yùn)算的考查.

，

易知，∴應(yīng)填255.