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2、(2009廣東揭陽)設定義在R上的函數f (x)＝a₀x⁴+a₁x³+a₂x²+a₃x (a _i∈R，i＝0，1，2，3 )，當時，f (x)取得極大值，并且函數y＝f¢ (x)的圖象關于y軸對稱。

(1)求f (x)的表達式；

(2)試在函數f (x)的圖象上求兩點，使以這兩點為切點的切線互相垂直，且切點的橫坐標都在區間[－1，1]上；(3)求證：|f (sin x)－f (cos x) | ≤ 　 (x∈R)．

1、(2009澄海)已知二次函數，不等式的解集為．

(Ⅰ)若方程有兩個相等的實根，求的解析式；

(Ⅱ)若的最大值為正數，求實數的取值范圍．

6、(2009廣東五校第一次)某商店將每個進價為10元的商品，按每個18元銷售時，每天可賣出60個，經調查，若將這種商品的售價(在每個18元的基礎上)每提高1元，則日銷售量就減少5個；若將這種商品的售價(在每個18元的基礎上)每降低1元，則日銷售量就增加10個，為獲得每日最大利潤，此商品售價應定為每個多少元？

解：設每個售價為x元，每日利潤為y元。

若x≥18時，銷售量為60-5(x-18)，每個利潤為(x-10)元，……2分

那么每日利潤為y=[60-5(x-18)](x-10)=-5(x-20)²+500,　 ……4分

此時，售價定為每個20元時，利潤最大，其最大利潤為500元；……6分

若x<18時，銷售量為60+10(18-x)，每個利潤為(x-10)元，　 ……7分

那么每日利潤為y=[60+10(18-x)](x-10)=-10(x-17)²+490, 　　……9分

此時，售價定為每個17元時，利潤最大，其最大利潤為490元；

　 故每個商品售價定為20元時，每日利潤最大。　　　 ……11分

答：為獲得每日最大利潤，此商品售價應定為每個20元。

5、(深圳福田等八校)已知函數，常數

　 (1)討論函數的奇偶性，并說明理由；

(2)若函數在上為增函數，求的取值范圍．

解：(1)當時，，對任意

　　　 為偶函數　 ……………3分

　　　 當時，

　　　 取，得 　　

　　 　　函數既不是奇函數，也不是偶函數……6分

(2)解法一：要使函數在上為增函數

等價于在上恒成立　　　　 ……………………………8分

即在上恒成立，故在上恒成立

∴　　　　　　　　　 …………………………………………10分

∴　 的取值范圍是　　　　　 …………………………………………12分

解法二：設

　　　 ……8分　

　　 要使函數在上為增函數，必須恒成立

　　 ，即恒成立　 ………………………………10分

　　 又，　

　　 的取值范圍是　　 ……………………………………………12分

4、(2009實驗中學)若函數的定義域為M。當時，求的最值及相應的x的值。

解析：，，…………………1分

解得：，∴　 ……………3分

　=　　　　 ……………4分

　∵，∴　　 ……………6分

∴f(x)=　 ()……………7分

由二次函數性質可知：　　 ……………9分

　　 ……………10分

當 ……………11分

綜上可知：當f(x)取到最大值為，無最小值。……………12分

3、(2009廣東五校)通過研究學生的學習行為，專家發現，學生的注意力隨著老師講課時間的變化而變化，講課開始時，學生的興趣激增；中間有一段時間，學生的興趣保持較理想的狀態，隨后學生的注意力開始分散，設f (t)表示學生注意力隨時間t(分鐘)的變化規律(f(t)越大，表明學生注意力越集中)，經過實驗分析得知：

(1)講課開始后多少分鐘，學生的注意力最集中？能持續多少分鐘？

(2)講課開始后5分鐘與講課開始后25分鐘比較，何時學生的注意力更集中？

(3)一道數學難題，需要講解24分鐘，并且要求學生的注意力至少達到180，那么經過適當安排，老師能否在學生達到所需的狀態下講授完這道題目？

解：(1)當，是增函數…1分，

且…………2分；

，是減函數，且…………4分.

所以，講課開始10分鐘，學生的注意力最集中，能持續10分鐘…………5分.

(2)…………7分，

故講課開始25分鐘時，學生的注意力比講課開始后5分鐘更集中…………9分.

(3)當時，…………11分；

當，令…………12分，

則學生注意力在180以上所持續的時間28.57－4=24.57＞24…………13分，

所以，經過適當安排，老師可以在學生達到所需要的狀態下講授完這道題…………14分.

2、(2009執信)某蔬菜基地種植西紅柿，由歷年市場行情得知，從二月一日起的300天內，西紅柿市場售價與上市時間的關系用圖一的一條折線表示；西紅柿的種植成本與上市時間的關系用圖二的拋物線段表示．

(Ⅰ) 寫出圖一表示的市場售價與時間的函數關系式P=；

　　 寫出圖二表示的種植成本與時間的函數關系式Q=；

(Ⅱ) 認定市場售價減去種植成本為純收益，問何時上市的西紅柿收益最大？

(注：市場售價和種植成本的單位：元/kg，時間單位：天)

解：(Ⅰ)由圖一可得市場售價與時間的函數關系為

f(t)=

由圖二可得種植成本與時間的函數關系為g(t)=(t－150)²+100，0≤t≤300．

(Ⅱ)設t時刻的純收益為h(t)，則由題意得h(t)=f(t)－g(t)

即h(t)=

當0≤t≤200時，配方整理得h(t)=－(t－50)²+100，

所以，當t=50時，h(t)取得區間[0，200]上的最大值100；

當200<t≤300時，配方整理得h(t)=－(t－350)²+100

所以，當t=300時，h(t)取得區間[200，300]上的最大值87.5．

綜上，由100>87.5可知，h(t)在區間[0,300]上可以取得最大值100，此時t=50，即從二月一日開始的第50天時，上市的西紅柿純收益最大．　

1、(2009廣州六中)已知二次函數：

⑴若函數在區間上存在零點，求實數的取值范圍；

⑵問：是否存在常數，當時，的值域為區間，且的長度為。

解：⑴ ∵二次函數的對稱軸是

　　　 ∴函數在區間上單調遞減

　　　 ∴要函數在區間上存在零點須滿足

　　　 即 　　　　解得 　

⑵ 當時，即時，的值域為：，

即　

∴

∴　 ∴，經檢驗不合題意，舍去。

當時，即時，的值域為：，即　

∴　 ∴

經檢驗不合題意，舍去。

當時，的值域為：，即　

∴

∴　 ∴或

經檢驗或滿足題意，所以存在常數，當時，的值域為區間，且的長度為。

8、(2009潮州)為了保證信息安全傳輸必須使用加密方式，有一種方式其加密、解密原理如下：

明文　　　　　　　　　 密文　　　　　　　 密文　　　　　　　　　 明文

已知加密為為明文、為密文，如果明文“”通過加密后得到密文為“”，

再發送，接受方通過解密得到明文“”，若接受方接到密文為“”，則原發的明文

是　　　　 。

解：依題意中，當時，，故，解得，所以加密為，因此，當時，由，解得。

7、(廣東五校第一次)函數的定義域為_____________。