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3.給出下列命題：

①若平面α的兩條斜線段PA、PB在α內的射影長相等，那么PA、PB的長度相等；

②已知PO是平面α的斜線段，AO是PO在平面α內的射影，若OQ⊥OP，則必有OQ⊥OA；

③與兩條異面直線都平行的平面有且只有一個；

④平面α內有兩條直線a、b都與另一個平面β平行，則α∥β．

上述命題中不正確的是　　　　　　　　　　 ( 　)

A.①②③④　　 B.①②③　　 C.①③④　　　 D.②③④

2.下列命題中正確的是　　　　　　　　 ( 　　)

A.過平面外一點作這個平面的垂面有且只有一個

B.過直線外一點作這條直線的平行平面有且只有一個

C.過直線外一點作這條直線的垂線有且只有一條

D.過平面的一條斜線作這個平面的垂面有且只有一個

1.若兩直線a⊥b，且a⊥平面a，則b與a的位置關系

是　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (　 )

A、相交　　　　　　 B、b∥a　 　　C、b∥a，或bÌa　　 D、bÌa

3．線面角的求法：作出射影轉化為平面內的角.　

同步練習　　　　　 9.3線面垂直、三垂線定理

[選擇題]

2.證明線面垂直的常用方法：

(1)用判定定理；　　　　

(2)與直線的垂面平行

(3)用面面垂直的性質定理；

(4)同一法.

(5)用活三垂線定理證線線垂直.

1.熟練掌握線面垂直的判定定理及性質定理.

[例1]AD為△ABC中BC邊上的高，在AD上取一點E，使AE=DE，過E點作直線MN∥BC，交AB于M，交AC于N，現將△AMN沿MN折起，這時A點到A¢點的位置，且ÐA¢ED=60°，求證：A¢E⊥平面A¢BC.

[例2]如圖，P為△ABC所在平面外一點，PA⊥平

面ABC，∠ABC=90°，AE⊥PB于E，AF⊥PC于F，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

求證：

(1)BC⊥平面PAB；　

(2)AE⊥平面PBC；

(3)PC⊥平面AEF.　　　　　　　　　　　　　　　　　　

證明：(1)PA⊥平面ABC

BC⊥平面PAB.

AB⊥BC

PA∩AB=A　　　　

(2)AE平面PAB，

AE⊥平面PBC.

　　　　　 AE⊥PB

　　　　 PB∩BC=B

(3)PC平面PBC，

PC⊥平面AEF.

　　 　　　PC⊥AF

　　　　 AE∩AF=A

[例3]如圖，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，ÐACB=90°,AC=1,CB=，側棱AA₁=1，側面A A₁ B₁B的兩條對角線交于點D，B₁C₁的中點為M，

求證：CD^平面BDM

證明：在直三棱柱中，又

∴平面，

∵，∴，

∴，

連結，則上的射影,也是CD的射影

在中，

在中，，

∴, ∴，

∴，

∴平面.

◆總結提練： 證線面垂直, 要注意線線垂直與線面垂直關系與它之間的相互轉化

證線線垂直常用余弦定理、勾股定理逆定理,三垂線定理或通過線面垂直.

[例4](2006浙江)如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形，，， 底面，

且，分別為、的中點.

(Ⅰ)求證：；

(Ⅱ)求與平面所成的角.

解：(I)∵是的中點，，∴.

∵平面，∴，從而平面.

∵平面，∴.

(II)取的中點，連結、，則，

∴與平面所成的角和與面所成的角相等.

∵平面，

∴NG是BG在面ADMN內的射影,

是與平面所成的角.

在中，.

故與平面所成的角是.

6. .CD⊥平面α時射影面積最小；CD//α時射影面積最大.

6．(2006浙江)正四面體ABCD的棱長為l，棱AB∥平面，則正四面體上的所有點在平面α內的射影構成的圖形面積的取值范圍是______.

◆答案提示：1-3.DBDA;　 5. a∥d;

5．直線a,b,c 是兩兩互相垂直的異面直線，直線 d是b和c的公垂線，則d和a 的位置關系是______________.