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41、(01北京、內蒙古、安徽卷) (12分)兩個星球組成雙星，它們在相互之間的萬有引力作用下，繞連線上某點做周期相同的勻速圓周運動。現測得兩星中心距離為R，其運動周期為T，求兩星的總質量。

參考解答：

　　　 設兩星質量分別為，都繞連線上O點作周期為T的圓周運動，星球1和星球2到O的距離分別為．由萬有引力定律和牛頓第二定律及幾何條件可得

　　　　　　　 　　　　 ①

　　　　　　　 　　　　 ②

　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　 　 ③

　　　 聯立解得

　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　 ④

評分標準：本題12分．①、②、③、④各占3分．

40、(00天津、江西卷) (12分)2000年1月26日我國發射了一顆同步衛星，其定點位置與東經98°的經線在同一平面內，若把甘肅省嘉峪關處的經度和緯度近似取為東經98°和北緯，已知地球半徑R、地球自轉周期T、地球表面重力加速度g(視為常量)和光速c。試求該同步衛星發出的微波信號傳到嘉峪關處的接收站所需的時間(要求用題給的已知量的符號表示)。

參考解答：

設為衛星質量，為地球質量，為衛星到地球中心的距離，為衛星繞地心轉動的角速度，由萬有引力定律和牛頓定律有，

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1

式中G為萬有引力恒量，因同步衛星繞地心轉動的角速度與地球自轉的角速度相等有

　　　　　　 　　　　　　　　　2

因

得　　　　　　　　　　　　　 3

設嘉峪關到同步衛星的距離為，如圖所示，由余弦定理

　　　　　　　　　　 4

所求時間為

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 5

由以上各式得

　　　　　　 6

39、(07上海) (10分)宇航員在地球表面以一定初速度豎直上拋一小球，經過時間t小球落回原處；若他在某星球表面以相同的初速度豎直上拋同一小球，需經過時間5t小球落回原處。(取地球表面重力加速度g＝10 m/s²，空氣阻力不計)

⑴求該星球表面附近的重力加速度g^/；

⑵已知該星球的半徑與地球半徑之比為R_星:R_地＝1:4，求該星球的質量與地球質量之比M_星:M_地。

解：⑴

故：

⑵，所以

可解得：M_星:M_地＝1´1²:5´4²＝1:80，

38、(04全國卷) 在勇氣號火星探測器著陸的最后階段，著陸器降落到火星表面上，再經過多次彈跳才停下來。假設著陸器第一次落到火星表面彈起后，到達最高點時高度為h，速度方向是水平的，速度大小為υ₀，求它第二次落到火星表面時速度的大小，計算時不計大氣阻力。已知火星的一個衛星的圓軌道的半徑為r，周期為T。火星可視為半徑為r₀的均勻球體。

1 (16分) G^M_r^m₀₂^′ = m′g′　　　　　 ①　　　　　 G^M_r^m₂ = m( ^2π　)²r　　　 ② υ₁² =2 g′h　　 　　　　　　　　　　　　　③　 　　　　　　υ = √υ₁² +υ₀²　　　　　 ④ υ =_√^8π2₂^h　_r02 ^r3 +υ₀²

37、(08寧夏卷)23.(15分)天文學家將相距較近、僅在彼此的引力作用下運行的兩顆恒星稱為雙星。雙星系統在銀河系中很普遍。利用雙星系統中兩顆恒星的運動特征可推算出它們的總質量。已知某雙星系統中兩顆恒星圍繞它們連線上的某一固定點分別做勻速圓周運動，周期均為T，兩顆恒星之間的距離為r，試推算這個雙星系統的總質量。(引力常量為G)

解析：設兩顆恒星的質量分別為m₁、m₂，做圓周運動的半徑分別為r₁、r₂，角速度分別為w₁,w₂。根據題意有

　　　　　　　　　　　　　　 w₁=w₂ ①

 r₁+r₂=r　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ②

根據萬有引力定律和牛頓定律，有

　　　　　　　　　　　　　　 G　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ③

G　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ④

聯立以上各式解得

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ⑤

根據解速度與周期的關系知

　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ⑥

聯立③⑤⑥式解得

　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ⑦

36、(08全國卷2)25．(20分)我國發射的“嫦娥一號”探月衛星沿近似于圓形軌道繞月飛行。為了獲得月球表面全貌的信息，讓衛星軌道平面緩慢變化。衛星將獲得的信息持續用微波信號發回地球。設地球和月球的質量分別為M和m，地球和月球的半徑分別為R和R₁，月球繞地球的軌道半徑和衛星繞月球的軌道半徑分別為r和r₁，月球繞地球轉動的周期為T。假定在衛星繞月運行的一個周期內衛星軌道平面與地月連心線共面，求在該周期內衛星發射的微波信號因月球遮擋而不能到達地球的時間(用M、m、R、R₁、r、r₁和T表示，忽略月球繞地球轉動對遮擋時間的影響)。

解析：如下圖所示：

設O和分別表示地球和月球的中心．在衛星軌道平面上，A是地月連心線與地月球表面的公切線ACD的交點，D、C和B分別是該公切線與地球表面、月球表面和衛星軌道的交點．過A點在另一側作地月球面的公切線，交衛星軌道于E點．衛星在圓弧上運動時發出的信號被遮擋．

設探月衛星的質量為m₀，萬有引力常量為G，根據萬有引力定律有：

……………………① 　　(4分)

……………………②　　 (4分)

②式中，T₁表示探月衛星繞月球轉動的周期．

由以上兩式可得：…………③

設衛星的微波信號被遮擋的時間為t，則由于衛星繞月球做勻速圓周運動，

應有：……………………④　　 (5分)

上式中，．

由幾何關系得：………………⑤　　 (2分)

…………………………⑥　　　 (2分)

由③④⑤⑥得：……………………⑦　　 (3分)

35、(06江蘇卷)26 舉世矚目的“神舟”六號航天飛船的成功發射和順利返回，顯示了我國航天事業取得的巨大成就．已知地球的質量為M，引力常量為G，設飛船繞地球做勻速圓周運動的軌道半徑為廠，則飛船在圓軌道上運行的速率為　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (　 A　 )

32、(06陜西卷)23、我國將要發射一顆繞月運行的探月衛星“嫦娥1號”。設該衛星的軌道是圓形的，且貼近月球表面。已知月球的質量為地球質量的1/80，月球的半徑約為地球半徑的1/4，地球上的第一宇宙速度約為7.9km/s，則該探月衛星繞月運行的速率約為B A、0.4　km/s　　B、1.8　km/s　　　C、11　km/s　　D、36　km/s 33、(06北京卷)24 .一飛船在某行星表面附近沿圓軌道繞該行星飛行。認為行星是密度均勻的球體，要確定該行星的密度，只需要測量C A.飛船的軌道半徑　　　　　　　　　　　　 B.飛船的運行速度 C.飛船的運行周期　　　　　　　　　　　　 D.行星的質量 34、(06重慶卷)25 宇航員在月球上做自由落體實驗，將某物體由距月球表面高h處釋放，經時間t后落到月球表面(設月球半徑為R)。據上述信息推斷，飛船在月球表面附近繞月球做勻速圓周運動所必須具有的速率為B

A. B C.　　 D.

31、(05四川、陜西、貴州、云南、新疆、寧夏、甘肅、內蒙)22.最近，科學家在望遠鏡中看到太陽系外某一恒星有一行星，并測得它圍繞該恒星運行一周所用的時間為1200 年，它與該恒星的距離為地球到太陽距離的100 倍。 假定該行星繞恒星運行的軌道和地球繞太陽運行的軌道都是圓周，僅利用以上兩個數據可以求出的量有 AD

A．恒星質量與太陽質量之比　　 B．恒星密度與太陽密度之比

C．行星質量與地球質量之比　　 D．行星運行速度與地球公轉速度之比

30、(05黑龍江、吉林、廣西)21 已知引力常量G、月球中心到地球中心的距離R和月球繞地球運行的周期T。僅利用 這三個數據，可以估算出的物理量有　BD　　　　　　　　　　　　　　

A．月球的質量　　 　　　　 B．地球的質量

C．地球的半徑　　　　 D．月球繞地球運行速度的大小