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2．

說明：求導(dǎo)其本質(zhì)是求極限，在求極限的過程中，力求使所求極限的結(jié)構(gòu)形式轉(zhuǎn)化為已知極限的形式，即導(dǎo)數(shù)的定義，這是能夠順利求導(dǎo)的關(guān)鍵，因此必須深刻理解導(dǎo)數(shù)的概念．

證明函數(shù)的在一點(diǎn)處連續(xù)

例 　證明：若函數(shù)在點(diǎn)處可導(dǎo)，則函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù)．

分析：從已知和要證明的問題中去尋求轉(zhuǎn)化的方法和策略，要證明在點(diǎn)處連續(xù)，必須證明．由于函數(shù)在點(diǎn)處可導(dǎo)，因此，根據(jù)函數(shù)在點(diǎn)處可導(dǎo)的定義，逐步實(shí)現(xiàn)兩個(gè)轉(zhuǎn)化，一個(gè)是趨向的轉(zhuǎn)化，另一個(gè)是形式(變?yōu)閷?dǎo)數(shù)定義形式)的轉(zhuǎn)化．

解：證法一：設(shè)，則當(dāng)時(shí)，，

∴函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù)．

證法二：∵函數(shù)在點(diǎn)處可導(dǎo)，

∴在點(diǎn)處有

∴∴函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù)．

說明：對(duì)于同一個(gè)問題，可以從不同角度去表述，關(guān)鍵是要透過現(xiàn)象看清問題的本質(zhì)，正確運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想來解決問題．函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù)，有極限以及導(dǎo)數(shù)存在這三者之間的關(guān)系是：導(dǎo)數(shù)存在連續(xù)有極限．反之則不一定成立．證題過程中不能合理實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化，而直接理解為是使論證推理出現(xiàn)失誤的障礙．

2．求函數(shù)(a、b為常數(shù))的導(dǎo)數(shù)．

分析：根據(jù)導(dǎo)數(shù)的概念求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是求導(dǎo)數(shù)的基本方法，確定函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)有兩種方法，應(yīng)用導(dǎo)數(shù)定義法和導(dǎo)函數(shù)的函數(shù)值法．

解：1．解法一(導(dǎo)數(shù)定義法)：，

解法二(導(dǎo)函數(shù)的函數(shù)值法)：，

∴

3．(含)，

∴

故選A．

說明：概念是分析解決問題的重要依據(jù)，只有熟練掌握概念的本質(zhì)屬性，把握其內(nèi)涵與外延，才能靈活地應(yīng)用概念進(jìn)行解題，不能準(zhǔn)確分析和把握給定的極限式與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，盲目套用導(dǎo)數(shù)的定義是使思維受阻的主要原因．解決這類問題的關(guān)鍵就是等價(jià)變形，使問題轉(zhuǎn)化．

利用定義求導(dǎo)數(shù)

例　 1．求函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)；

2．原式＝

3．若，則等于(　 )

A．－1　 B．－2　 C．－1　 D．

分析：在導(dǎo)數(shù)的定義中，增量的形式是多種多樣的，但不論選擇哪種形式，也必須選擇相對(duì)應(yīng)的形式．利用函數(shù)在點(diǎn)處可導(dǎo)的條件，可以將已給定的極限式班等變形轉(zhuǎn)化為導(dǎo)數(shù)定義的結(jié)構(gòu)形式．

解：1．原式＝

2．

1．；

2．

兩邊都是關(guān)于x的可導(dǎo)函數(shù)，求導(dǎo)得

，

令，得，

即

說明：通過對(duì)數(shù)列的通項(xiàng)進(jìn)行聯(lián)想，合理運(yùn)用了逆向思維的方法，從而激發(fā)了思維的靈活性，使數(shù)列的求和問題獲得解決，其關(guān)鍵是抓住了數(shù)列通項(xiàng)的形式結(jié)構(gòu)．學(xué)生易犯的錯(cuò)誤是受思維定式的影響不善于聯(lián)想．

2．

分析：?jiǎn)栴}分別可通過錯(cuò)位相減的方法及構(gòu)造二項(xiàng)式定理的方法來解決．轉(zhuǎn)換思維角度，由求導(dǎo)公式，可聯(lián)想到它們是另外一個(gè)和式的導(dǎo)數(shù)，因此可轉(zhuǎn)化求和，利用導(dǎo)數(shù)運(yùn)算可使問題解法更加簡(jiǎn)潔明快．

解：1．當(dāng)時(shí)，

當(dāng)時(shí)，

，

兩邊都是關(guān)于x的函數(shù)，求導(dǎo)得

，

即

1．