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21．(本題滿分14分)已知函數：f (x) = x (1 +x)²．

(1)求函數f (x)的極值，并作出函數圖象的簡圖；

(2)求實數a，b的值，使函數在區間[a，b]上的值域也為[a，b]；

(3)是否存在區間[a，b] (a＜b≤0)，使f (x)在區間[a，b]上的值域為[ka，kb]，且使k的值最小？若存在，求出a，b的值和k的最小值；若不存在，請說明理由．

20．(本題滿分13分)已知橢圓C₁的方程為，雙曲線C₂的左、右焦點分別為C₁的左、右頂點，而C₂的左、右頂點分別是C₁的左、右焦點．

　 　(1)求雙曲線C₂的方程；

　　 (2)若直線l：y = kx +與橢圓C₁及雙曲線C₂都恒有兩個不同的交點，且l與C₂的兩個交點A和B滿足(其中O為原點)，求k的取值范圍．

19．(本題滿分12分)已知數列{a_n}的首項a₁ = ，前n項和S_n = n²a_n (n≥1)．

①求數列{a_n}的通項a_n；

②記b₁ = 0，b_n = 　(n≥2)，T_n為數列{b_n}的前n項和，

求證：0≤。

18．(本題滿分12分)如圖，在直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB = AD = 2，DC = 2，

AA₁ = ，AD⊥DC，AC⊥BD，垂足為E．

(1)求證：BD⊥A₁C；

(2)求二面角A₁-BD-C₁的大小；　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

(3)求異面直線AD與BC₁所成角的在大小．

17．(本題滿分12分)已知，記函數f (x) = ()·，若函數f (x)的圖象與直線y = m (m為常數)相切，且切點的橫坐標依次成公差為的等差數列．

　　 ①求f (x)的表達式及m的值；

　　 ②將y = f (x)的圖象向左平移個單位，再將得到的圖象的橫坐標變為原來的2倍(縱坐標不變)后得到y = g (x)的圖象，若函數y = g (x)，x∈()的圖象與y = a的圖象的交點的橫坐標成等比數列，求a的值．

16．(本題滿分12分)甲、乙兩名同學參加時事知識競賽，競賽試卷共4道題，兩人獨立答題。甲答對每道題的概率為P，乙答對每道題的概率為q，若對某題甲、乙都答對的概率為0.48，只有甲答對的概率為0.32．

　　 ①求p與q的值　　　　　　　　

②若答對一題得100分，不答或答錯得–100分，求甲總分不為負分的概率．

15．設O為拋物線y² = 4x的頂點，點P為定直線x = 3上任一點，直線OP與拋物線交于點M，過點P且與拋物線對稱軸平行的直線與拋物線交于點N，則直線MN恒過定點 ____．

14．已知y = sin 為偶函數，它的對稱中心為()，并且在[0，]上單調，則=___；____．

13．函數f (x)的定義域為{x|x≠1, x∈R}，已知f (x + 1)為奇函數，當x＜1時，f (x) = 2x² – x + 1，那么當x＞1時，f (x)的遞減區間是____．

12．在邊長為1的正方形ABCD內部(含邊界)有動點P,則動點P到定點A的距離不小于的概率為_______。