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解:取與取是同一種取法.分類標準為兩加數的奇偶性,第一類,偶偶相加,由分步計數原理得(10×9)/2=45種取法,第二類,奇奇相加,也有(10×9)/2=45種取法.根據分類計數原理共有45+45=90種不同取法.

例2 在1～20共20個整數中取兩個數相加,使其和大于20的不同取法共有多少種?

解:分類標準一,固定小加數.小加數為1時,大加數只有20這1種取法;小加數為2時,大加數有19或20兩種取法;小加數為3時,大加數為18,19或20共3種取法…小加數為10時,大加數為11,12,…,20共10種取法;小加數為11時,大加數有9種取法…小加數取19時,大加數有1種取法.由分類計數原理,得不同取法共有1+2+…+9+10+9+…+2+1=100種.

分類標準二:固定和的值.有和為21,22,…,39這幾類,依次有取法10,9,9,8,8, …,2,2,1,1種.由分類計數原理得不同取法共有10+9+9+…+2+2+1+1=100種.

例3 如圖一,要給①,②,③,④四塊區域分別涂上五種顏色中的某一種,允許同一種顏色使用多次,但相鄰區域必須涂不同顏色,則不同涂色方法種數為()

     A. 180    B. 160    C. 96    D. 60

若變為圖二,圖三呢?(240種,5×4×4×4=320種)

例4 如下圖,共有多少個不同的三角形?

解:所有不同的三角形可分為三類”

第一類:其中有兩條邊是原五邊形的邊,這樣的三角形共有5個

第二類:其中有且只有一條邊是原五邊形的邊,這樣的三角形共有5×4=20個

第三類:沒有一條邊是原五邊形的邊,即由五條對角線圍成的三角形,共有5+5=10個

由分類計數原理得,不同的三角形共有5+20+10=35個.

例5 75600有多少個正約數?有多少個奇約數?

解:75600的約數就是能整除75600的整數,所以本題就是分別求能整除75600的整數和奇約數的個數.  

由于 75600=2⁴×3³×5²×7

(1) 75600的每個約數都可以寫成的形式,其中,,,

于是,要確定75600的一個約數,可分四步完成,即分別在各自的范圍內任取一個值,這樣有5種取法,有4種取法,有3種取法,有2種取法,根據分步計數原理得約數的個數為5×4×3×2=120個.

(2)奇約數中步不含有2的因數,因此75600的每個奇約數都可以寫成的形式,同上奇約數的個數為4×3×2=24個.

1.用1,2,3,4,5可組成多少個三位數?(各位上的數字允許重復)

2.用數字1,2,3可寫出多少個小于1000的正整數? (各位上的數字允許重復)

3.集合A=｛a,b,c,d,e｝,集合B=｛1,2,3｝,問A到B的不同映射f共有多少個?B到A的映射g共有多少個?

4.將3封信投入4個不同的郵筒的投法共有多少種?

5. 4名學生從3個不同的樓梯下樓的方法數.

6. 4名學生分配到3個車間去勞動,共有多少中不同的分配方案?

7. 求集合｛1,2,3,4,5｝的子集的個數

答案：1. 5×5×5×5=625   2. 3+3²+3³=39   3. 3⁵,5³  4. 4³  5. 3⁴  6.  3⁴ 

 7. 在集合｛1,2,3,4,5｝的子集中,每個元素都只有出現和不出現這2種可能,所以這個集合的子集的個數為2×2×2×2×2=2⁵=32個.

五、課后作業： 

1．用0，1，2，3，4，5這六個數字，
（1）可以組成多少個數字不重復的三位數？
（2）可以組成多少個數字允許重復的三位數？
（3）可以組成多少個數字不允許重復的三位數的奇數？
（4）可以組成多少個數字不重復的小于1000的自然數？
（5）可以組成多少個大于3000，小于5421的數字不重復的四位數？
 解（1）分三步：①先選百位數字．由于0不能作百位數，因此有5種選法；②十位數字有5種選法；
 ③個位數字有4種選法．由乘法原理知所求不同三位數共有5×5×4=100個．
（2）分三步：(1)百位數字有5種選法；(ii)十位數字有6位選法；(iii)個位數字有6種選法．
  所求三位數共有5×6×6=180個．
（3）分三步：①先選個位數字，有3種選法；②再選百位數字，有4種選法；③選十位數字也是4 
  種選法，所求三位奇數共有3×4×4=48個．
（4）分三類：①一位數，共有6個；②兩位數，共有5×5=25個；③三位數共有5×5×4=100個．
 因此，比1000小的自然數共有6+25+100=131個．
（5）分4類：①千位數字為3，4之一時，共有2×5×4×3=120個；②千位數字為5，百位數字為 
 0，1，2，3之一時，共有4×4×3=48個；③千位數字是5，百位數字是4，十位數字為0，1之一
 時，共有2×3=6個；④還有5420也是滿條件的1個．故所求自然數共120+48+6+1=175個．
說明：⑴排數字問題是最常見的一種類型，要特別注意首位不能排0．

⑵第（5）題改成：可以組成多少個大于3000，小于5421的四位數？

答案：2*6*6*6+4*6*6+2*6+1=589個

2．求下列集合的元素個數．
（1）；
（2）．
解：(1)分7類：①，有7種取法；②，有6種取法； ③，有5種取法； ④，有4種取法； ⑤，有3種取法； ⑥，有2種取法；⑦，只有1種取法因此共有個元素
(2)分兩步：①先選，有4種可能；②再選有5種可能．由乘法原理，共有個元素

3．有四位同學參加三項不同的比賽，

（1）每位同學必須參加一項競賽，有多少種不同的結果？

（2）每項競賽只許一位學生參加，有多少種不同的結果？

解：（1）每位學生有三種選擇，四位學生共有參賽方法：種；

（2）每項競賽被選擇的方法有四種，三項競賽共有參賽方法：種.

4．①設，，從到共有多少個不同映射？
②6個人分到3個車間，共有多少種分法？
解：（1)分6步：先選的象，有3種可能，再選的象也是3種可能，…，選象也有3種可能， 由乘法原理知，共有種不同映射；
(2)把6個人構成的集合，看成上面(1)中之，3個車間構成的集合，看成上面的， 因此，所求問題轉化為映射問題，如上題所述，共有種方案
5.甲、乙、丙、丁四個人各寫一張賀卡,放在一起,再各取一張不是自己所寫的賀卡,共有多少種不同的取法?
解:列表排出所有的分配方案,共有3+3+3=9種,或種．

六、板書設計（略）

七、課后記：