平頂山市2008屆高三調研考試
文科數學
第Ⅰ卷
注意事項：
1．答題前，考生在答題卡上務必用直徑0．5毫米黑色墨水簽字筆將自己的姓名、準考證號填寫清楚．
2．每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號，在試題卷上作答無效．
參考公式：
如果事件
互斥，那么
球的表面積公式
如果事件相互獨立，那么
其中
表示球的半徑
球的體積公式
如果事件
在一次試驗中發生的概率是
，那么
次獨立重復試驗中事件恰好發生
次的概率
其中表示球的半徑
一．選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分．把答案涂在答題卡上．
（1）已知全集
，
，
，則
A．
B．
C．
D．
（2）若a，b是任意實數，且a＞b，則
A．
B．
C．
D．
（3）已知
，則
的取值范圍是
A．
B．
C．
D．
（4）在等差數列{
}中，若
，
，則
A．54 B．
（5）函數
的圖象如圖所示，則它的解析式是
A．
B．
C．
D．
（6）
展開式的第四項等于7，則x等于
A．－5 B．
C．
D．5
（7）經過點
被圓C：
截得的弦最短的直線的方程是
A．
B．
C．
D．
（8）4名男生與5名女生站成一排，要求4名男生的順序一定，5名女生的順序也一定，不同的站法總數為
A．126 B．
（9）若不等式
對一切
成立，那么
的取值范圍是
A．
B．
C．
D．
（10）
如圖，在棱長為2的正方體
中，E是
的中點，那么異面直線DE和AC所成的角的余弦值等于
A． 
B． 
C． 
D． 
（11）函數
，當
時的最小值為
A．
B．
C．
D．1
（12）已知雙曲線中心在原點且一個焦點為
，直線
與其相交于M、N兩點，MN中點的橫坐標為
，則此雙曲線的方程是
A．
B．
C．
D．
平頂山市2008屆高三調研考試
文科數學
第Ⅱ卷
注意事項：
1．答題前，考生先用直徑0．5毫米黑色墨水簽字筆將自己的姓名、準考證號填寫清楚．
2．本卷共10小題，共90分．
一
二
三
總 分
17
18
19
20
21
22
二．填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．把答案填在橫線上．
（13）已知
，
，
與
的夾角為60°，則 與
的夾角余弦為 ．
（14）設
，式中變量
，
滿足
，則
的最小值為_________．
（15）設正四棱錐
的底面ABCD在一個球的大圓上，頂點V也在這個球面上，那么它的側面與底面所成的二面角為_______________．
（16）已知定義域為
的函數
是奇函數，那么函數
的反函數是___________________________．
（17）（本小題滿分10分）
三．解答題：本大題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟．
已知
．
（Ⅰ）求的最小正周期；
（Ⅱ）設
，且函數為偶函數，求滿足
，
的x的集合．
（18）（本小題滿分12分）
有一種舞臺燈，外形是正六棱柱，在其每一個側面上安裝5只顏色各異的彩燈，假若每只燈正常發光的概率為
. 若一個面上至少有3只燈發光，則不需要維修，否則需要更換這個面進行維修.
（Ⅰ）求一個面需要維修的概率；
（Ⅱ）求至少有3個面需要維修的概率.
（19）（本小題滿分12分）
如圖，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AA1，D是BC上一點，且AD⊥C1D.
（Ⅰ）求證：A1B∥平面AC1D；
（Ⅱ）求二面角C-AC1-D的大小.
（20）（本小題滿分12分）
設數列
、
分別滿足
，
，
．
（Ⅰ）求數列和的通項公式；
（Ⅱ）若數列
的前
項和為
，試求．
（21）（本小題滿分12分）
已知函數
，
，其中
是的導數．
（Ⅰ）對滿足
的一切的值，都有
，求實數的取值范圍；
（Ⅱ）設直線
是函數
圖象的一條切線，求函數的單調區間．
（22）（本小題滿分12分）
已知定點
，過點A作傾斜角為45°的直線l，交拋物線
于B、C兩點，且|BC|=
．
（Ⅰ）求拋物線的方程；
（Ⅱ）在（Ⅰ）中的拋物線上是否存在點D，使得|DB|=|DC|成立？如果存在，求出點D的坐標；如果不存在，請說明理由．
平頂山市2008屆高三調研考試
文科數學答案
三．解答題：
（17）解：（Ⅰ）
=
或
，
…………3分
所以，的最小正周期
；
…………5分
（Ⅱ）當
時，f（x）為偶函數 ．
…………7分
由，得
，所以
，
…………8分
，
…………9分
所以，所求x的集合為
． ……………10分
（18）解：（Ⅰ）因為每面上的5只燈正常發光是5次獨立重復試驗，所以一個面不需要維修的概率為
，
……4分
因此，一個面需要維修的概率為
.
……6分
（Ⅱ）因為六個面是否需要維修是6次獨立重復試驗，所以，至少有3個面需要維修的概率是
，
……8分
又
，
，
，
，
因此， 
.
……12分
（19）解：（Ⅰ）∵ABC-A1B1C1是正三棱柱，∴ CC1⊥平面ABC，∵ AD⊥C1D，
∴ AD⊥BC， ∴ D是BC的中點.
……3分
連結AC1與A1C相交于E點，在△A1BC中，∵D、E是中點，
∴A1B∥DE，又DE在平面AC1D內，∴A1B∥平面AC1D.
……6分
（Ⅱ）作CF⊥C1D于F，則CF⊥平面AC1D，連結EF，∵CE⊥AC1
∴ EF⊥AC1，∴ 則∠CEF就是二面角C-AC1-D的平面角. ……8分∵
，
， ……10分
∴
，
即，二面角C-AC1-D的
大小為
.
……12分
方法二：設D1是B1C1的中點，以DC為x軸，
DA為y軸，DD1為z軸建立空間直角坐標系
（如圖）， ……7分
并設
，則
，
，
，∵AC的中點為
，
∴
，
……8分
∴平面AC1C的法向量
.
……9分
設平面AC1D的法向量為
，∵
，
∴
，∴
， ……10分
∴
，
……11分
因此，二面角C-AC1-D的大小為
. ……12分
（20）解：（Ⅰ）∵，∴
，
∴
當
時，
，而當
時
，∴． …………3分
∵
，∴ 
，
∴當時，
，而當時
，∴．………6分
（Ⅱ）∵
， ∴ 
…………8分
∴
，
…………9分
∴相減得
，
∴
．
…………12分
（21）解：（Ⅰ）由題意
，
…………2分
令
，，
對，恒有
，即
，
∴
， 即 
，
…………4分
解得
．
故
時，對滿足的一切的值，都有．………6分
（Ⅱ）∵ 
，設直線與函數相切于點
，
則
，
…………7分
所以
，即
，
解得
，
，所以
，
．…………9分
因此，是函數的單調遞增區間；是函數的單調遞減區間；是函數的單調遞增區間． ……………12分
（22）解：（Ⅰ）直線l方程為
，將其代入
，整理為，
．①
…………2分
∵p>0，∴
．
設
．
∴
．
…………4分
∵|BC|=，而
，
∴
，解得p=1．
∴拋物線方程
．
…………6分
（Ⅱ）假設在拋物線上存在點
，使得|DB|=|DC|成立，
記線段BC中點為
．
則
．
………8分
當p=1時，①式成為
．
∴
，
．
∴點應滿足
．
…………10分
解得，
．
∴存在點
或（8,-4），使得|DB|=|DC|成立．
…………12分
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