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設數列的前項和為，如果為常數，則稱數列為“科比數列”．

（Ⅰ）已知等差數列的首項為1，公差不為零，若為“科比數列”，求的通項公式；

（Ⅱ）設數列的各項都是正數，前項和為，若對任意 都成立，試推斷數列是否為“科比數列”？并說明理由．

已知數列的前項和為，且 (N^*),其中．

(Ⅰ) 求的通項公式；

(Ⅱ) 設 (N^*).

①證明： ；

② 求證：.

【解析】本試題主要考查了數列的通項公式的求解和運用。運用關系式，表示通項公式，然后得到第一問，第二問中利用放縮法得到，②由于，

所以利用放縮法，從此得到結論。

解：(Ⅰ)當時，由得.  ……2分

若存在由得，

從而有，與矛盾，所以.

從而由得得.  ……6分

 (Ⅱ)①證明：

證法一：∵∴

∴ 

∴.…………10分

證法二：，下同證法一.           ……10分

證法三：（利用對偶式）設，，

則.又，也即，所以，也即，又因為，所以.即

                    ………10分

證法四：（數學歸納法）①當時, ,命題成立;

   ②假設時,命題成立,即,

   則當時,

    即

即

故當時，命題成立.

綜上可知，對一切非零自然數，不等式②成立.           ………………10分

②由于，

所以，

從而.

也即

 設等差數列的前項和為，

若．

（Ⅰ）求數列的通項公式；

（Ⅱ）設，若，試比較與的大小．

設是數列的前項和，對任意都有成立， (其中、、是常數)．

（1）當，，時，求；

（2）當，，時，

①若，，求數列的通項公式；

②設數列中任意（不同）兩項之和仍是該數列中的一項，則稱該數列是“數列”.

如果，試問：是否存在數列為“數列”，使得對任意，都有

，且．若存在，求數列的首項的所

有取值構成的集合；若不存在，說明理由．

設是數列的前項和，對任意都有成立， (其中、、是常數)．
（1）當，，時，求；
（2）當，，時，
①若，，求數列的通項公式；
②設數列中任意（不同）兩項之和仍是該數列中的一項，則稱該數列是“數列”.
如果，試問：是否存在數列為“數列”，使得對任意，都有
，且．若存在，求數列的首項的所
有取值構成的集合；若不存在，說明理由．