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抽象函數：（1）已知的定義域為D，求的定義域；（由求得的范圍就是）

（2）已知的定義域為D，求的定義域；（求出的范圍就是）

直觀法：圖象在軸上的“投影”的范圍就是值域的范圍；

配方法：適合一元二次函數

反解法：有界量用來表示。如，，等等。如，。

換元法：通過變量代換轉化為能求值域的函數，特別注意新變量的范圍。注意三角換元的應用。

　如求的值域。

單調性：特別適合于指、對數函數的復合函數。如求值域。

       注意函數的單調性。

基本不等式：要注意“一正、二定、三相等”，

判別式：適合于可轉化為關于的一元二次方程的函數求值域。如。

反之：方程有解也可轉化為函數求值域。如方程有解，求的范圍。

數形結合：要注意代數式的幾何意義。如的值域。（幾何意義??斜率）

恒成立的最大值；恒成立的最小值；

有解的最小值；　無解的最小值；

★★★ 突 破 重 難 點

【范例1】已知f(x)=3^x－b（2≤x≤4，b為常數）的圖象經過點（2，1），求F(x)=[f^－1(x)]²－f^－1(x²)的值域。

分析提示：求函數值域時，不但要重視對應法則的作用，而且要特別注意定義域的制約作用。本題要注意F(x)的定義域與f^－1(x)定義域的聯系與區別。

解：由圖象經過點（2，1）得，，　　　　

　F(x)=[f^－1(x)]²－f^－1(x²)　　　　　　　的定義域為　

　，　，　　　　的值域是

易錯點：把的定義域當做的定義域。

變式： 函數的定義域為，圖象如圖所示，

   其反函數為則不等式

   的解集為                .

【范例2】設函數．

（Ⅰ）求的最小值；

（Ⅱ）若對恒成立，求實數的取值范圍．

解：（Ⅰ），

當時，取最小值，

即．

（Ⅱ）令，

由得，（不合題意，舍去）．

當變化時，的變化情況如下表：

遞增

極大值

遞減

在內有最大值．

在內恒成立等價于在內恒成立，

即等價于，

所以的取值范圍為．

變式：函數f（x）是奇函數，且在[―l，1]上單調遞增，f（－1）＝－1，(1) 則f（x）在[－1，1]上的最大值　　1　 ，(2) 若對所有的x∈[－1，1]及a∈[－1，1]都成立，則t的取值范圍是　　　　_　　　　　　 ．

【范例3】已知函數與的圖象相交于，，，分別是的圖象在兩點的切線，分別是，與軸的交點．

（I）求的取值范圍；

（II）設為點的橫坐標，當時，寫出以為自變量的函數式，并求其定義域和值域；

（III）試比較與的大小，并說明理由（是坐標原點）．

解：（I）由方程消得．????? ①

依題意，該方程有兩個正實根，

故解得．

（II）由，求得切線的方程為，

由，并令，得

，是方程①的兩實根，且，故，，

是關于的減函數，所以的取值范圍是．

是關于的增函數，定義域為，所以值域為，

（III）當時，由（II）可知．

類似可得．．

由①可知．

從而．

當時，有相同的結果．

所以．

變式：已知函數的最大值是，最小值是，求的值。

分析提示：（1）能化成關于的二次函數，注意對數的運算法則；(2)注意挖掘隱含條件“”；（3）掌握復合函數最值問題的求解方法。

解：

    =， ∵，且

∴當即時，

∴     ∴，又最大值是，，

∴   即  ，  ∴    ∴