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科目： 來源： 題型：解答題

18．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右焦點為F₁，F(xiàn)₂，設(shè)點F₁，F(xiàn)₂與橢圓短軸的一個端點構(gòu)成斜邊長為4的直角三角形．
（1）求橢圓C的標準方程；
（2）設(shè)A，B，P為橢圓C上三點，滿足$\overrightarrow{OP}$=$\frac{3}{5}$$\overrightarrow{OA}$+$\frac{4}{5}$$\overrightarrow{OB}$，記線段AB中點Q的軌跡為E，若直線l：y=x+1與軌跡E交于M，N兩點，求|MN|．

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科目： 來源： 題型：解答題

17．已知函數(shù)f（x）=（x-2）lnx+2x-3，x≥1．
（1）試判斷函數(shù)f（x）的零點個數(shù)；
（2）若函數(shù)g（x）=（x-a）lnx+$\frac{a（x-1）}{x}$在[1，+∞）上為增函數(shù)，求整數(shù)a的最大值．（可能要用的數(shù)據(jù)：ln1.59≈0.46；ln1.60≈0.47；$\frac{400}{41}$≈9.76）

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科目： 來源： 題型：選擇題

16．設(shè)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，且f（2+x）=f（2-x），當x∈[-2，0]時，f（x）=（$\frac{\sqrt{2}}{2}$）^x-1，若在區(qū)間（-2，6）內(nèi)關(guān)于x的方程f（x）-log _a（x+2）=0，恰有4個不同的實數(shù)根，則實數(shù)a（a＞0，a≠1）的取值范圍是（　　）

A．

（$\frac{1}{4}$，1）

B．

（1，4）

C．

（1，8）

D．

（8，+∞）

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科目： 來源： 題型：解答題

15．設(shè)橢圓E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{1}{2}$，E上一點P到右焦點距離的最小值為1．
（1）求橢圓E的方程；
（2）過點（0，2）且傾斜角為60°的直線交橢圓E于A，B兩點，求△AOB的面積．

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科目： 來源： 題型：選擇題

14．${∫}_{1}^{e}$（x+$\frac{1}{x}$）dx=（　　）

A．

e²

B．

$\frac{{e}^{2}+1}{2}$

C．

$\frac{{e}^{2}-1}{2}$

D．

$\frac{{e}^{2}+3}{2}$

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科目： 來源： 題型：填空題

13．

如圖，平面PAD⊥平面ABCD，四邊形ABCD為正方形，∠PAD=90°，且PA=AD=2，E，F(xiàn)分別是線段PA，CD的中點，則異面直線EF與BD所成角的余弦值為$\frac{\sqrt{3}}{6}$．

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科目： 來源： 題型：解答題

12．橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的兩個焦點與它的一個頂點的連線構(gòu)成等腰直角三角形，直線x+y=0與以橢圓C的右頂點為圓心，以2b為半徑的圓相交所得的弦長為2$\sqrt{3}$．
（Ⅰ）求橢圓C的標準方程；
（Ⅱ）設(shè)過橢圓C右焦點F₂的直線l與橢圓交于點P、Q，若以O(shè)P，OQ為鄰邊的平行四邊形是矩形，求滿足該條件的直線l的方程．

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科目： 來源： 題型：選擇題

11．在平行四邊形ABCD中，滿足$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AD}$=${\overrightarrow{AB}}^{2}$，2${\overrightarrow{AB}}^{2}$=4-${\overrightarrow{BD}}^{2}$，若將其沿BD折成直二面角A-BD-C，則三棱錐A-BCD的外接球的表面積為（　　）

A．

16π

B．

8π

C．

4π

D．

2π

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科目： 來源： 題型：解答題

10．已知橢圓E：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$的離心率為$\frac{1}{2}$，橢圓E和拋物線y²=$\frac{9}{4}$x交于M，N兩點，且直線MN恰好通過橢圓E的右焦點F₂．
（1）求橢圓E的標準方程；
（2）已知橢圓E的左焦點為F₁，左、右頂點分別為A，B，經(jīng)過點F₁的直線l與橢圓E交于C，D兩點，記△ABD與△ABC的面積分別為S₁，S₂，求|S₁-S₂|的最大值．

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科目： 來源： 題型：解答題

9．已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，a_n+1=2a_n+1（n∈N^*）．若數(shù)列{b_n}滿足：4${\;}^{{b_1}-1}}$•4${\;}^{{b_2}-1}}$•…4${\;}^{{b_n}-1}}$=（a_n+1）^b_n（n∈N^*）．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）求證：{b_n}是等差數(shù)列．

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