Question

16．設f（x）是定義在R上的偶函數，且f（2+x）=f（2-x），當x∈[-2，0]時，f（x）=（$\frac{\sqrt{2}}{2}$）^x-1，若在區間（-2，6）內關于x的方程f（x）-log _a（x+2）=0，恰有4個不同的實數根，則實數a（a＞0，a≠1）的取值范圍是（　　）

• A． （$\frac{1}{4}$，1）
• B． （1，4）
• C． （1，8）
• D． （8，+∞）

Answer 1

分析 由題意求得函數的周期，根據偶函數的性質，及當x∈[-2，0]時，函數解析式，畫出函數f（x）的圖象，則數y=f（x）與y=log _a（x+2），在區間（-2，6）上有四個不同的交點，由對數函數的運算性質，即可求得a的取值范圍．

解答 解：對于任意的x∈R，都有f（2+x）=f（2-x），
∴f（x+4）=f[2+（x+2）]=f[（x+2）-2]=f（x），
∴函數f（x）是一個周期函數，且T=4．
又∵當x∈[-2，0]時，f（x）=（$\frac{\sqrt{2}}{2}$）^x-1，且函數f（x）是定義在R上的偶函數，
若在區間（-2，6）內關于x的方程f（x）-log _a（x+2）=0，恰有4個不同的實數解，
則函數y=f（x）與y=log _a（x+2），在區間（-2，6）上有四個不同的交點，如下圖所示：

又f（-2）=f（2）=f（6）=1，
則對于函數y=log _a（x+2），根據題意可得，當x=6時的函數值小于1，
即log _a8＜1，
由此計算得出：a＞8，
∴a的范圍是（8，+∞），
故選D．

點評 本題綜合考查了函數的奇偶性、周期性、函數的交點及方程的根，考查數形結合思想，屬于中檔題．