Question

11．在平行四邊形ABCD中，滿足$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AD}$=${\overrightarrow{AB}}^{2}$，2${\overrightarrow{AB}}^{2}$=4-${\overrightarrow{BD}}^{2}$，若將其沿BD折成直二面角A-BD-C，則三棱錐A-BCD的外接球的表面積為（　　）

• A． 16π
• B． 8π
• C． 4π
• D． 2π

Answer 1

分析 由已知中$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AD}$=${\overrightarrow{AB}}^{2}$，可得AB⊥BD，沿BD折起后，由平面ABD⊥平面BDC，可得三棱錐A-BCD的外接球的直徑為AC，進而根據2${\overrightarrow{AB}}^{2}$=4-${\overrightarrow{BD}}^{2}$，求出三棱錐A-BCD的外接球的半徑，可得三棱錐A-BCD的外接球的表面積．

解答 解：平行四邊形ABCD中，
∵$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AD}$=${\overrightarrow{AB}}^{2}$，
∴$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{BD}$=0，
∴AB⊥BD，
沿BD折成直二面角A-BD-C，
∵平面ABD⊥平面BDC
三棱錐A-BCD的外接球的直徑為AC，
∴AC²=AB²+BD²+CD²=2AB²+BD²=4
∴外接球的半徑為1，
故表面積是4π．
故選C．

點評 本題考查的知識點是球內接多面體，平面向量數量積的運算，其中根據已知求出三棱錐A-BCD的外接球的半徑是解答的關鍵．