Question

12．橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的兩個焦點與它的一個頂點的連線構成等腰直角三角形，直線x+y=0與以橢圓C的右頂點為圓心，以2b為半徑的圓相交所得的弦長為2$\sqrt{3}$．
（Ⅰ）求橢圓C的標準方程；
（Ⅱ）設過橢圓C右焦點F₂的直線l與橢圓交于點P、Q，若以OP，OQ為鄰邊的平行四邊形是矩形，求滿足該條件的直線l的方程．

Answer 1

分析 （I）求出圓的方程，利用垂徑定理和a，b，c的關系列出方程組解出a，b；
（II）討論直線l的斜率，根據根與系數的關系和$\overrightarrow{OP}•\overrightarrow{OQ}$=0解出直線l的斜率k．

解答 解：（Ⅰ）以橢圓C的右頂點（a，0）為圓心，以2b為半徑的圓的方程為（x-a）²+y²=4b²，
∴圓心（a，0）到直線x+y=0的距離d=$\frac{a}{\sqrt{2}}$，
∴$\frac{{a}^{2}}{2}$+（$\frac{2\sqrt{3}}{2}$）²=4b²．
∵橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的兩個焦點與它的一個頂點的連線構成等腰直角三角形，
∴b=c．
又a²=b²+c²，
∴a=$\sqrt{2}$，b=c=1，
∴橢橢圓C的標準方程為$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}$=1．
（Ⅱ）橢圓右焦點F₂（1，0），
（1）若直線l與x軸垂直，則直線l的方程為x=1，∴P（1，$\frac{\sqrt{2}}{2}$），Q（1，-$\frac{\sqrt{2}}{2}$），
此時∠POQ＜90°，以OP，OQ為鄰邊的平行四邊形不可能是矩形．
（2）當直線l與x軸不垂直時，設直線l的方程為y=k（x-1）．
由$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\\{y=k（x-1）}\end{array}\right.$，可得（1+2k²）x²-4k²x+2k²-2=0．
∴x₁+x₂=$\frac{4{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{2{k}^{2}-2}{1+2{k}^{2}}$．
∴y₁y₂=k²（x₁-1）（x₂-1）=$\frac{-{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$．
因為以OP，OQ為鄰邊的平行四邊形是矩形，
∴$\overrightarrow{OP}•\overrightarrow{OQ}$=x₁x₂+y₁y₂=0．
即$\frac{2{k}^{2}-2}{1+2{k}^{2}}$-$\frac{{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$=0，
解得k²=2，∴k=$±\sqrt{2}$．
∴直線l的方程為y=$±\sqrt{2}$（x-1）．

點評 本題考查了橢圓的標準方程，直線與橢圓的位置關系，根與系數的關系應用，屬于中檔題．