Question

9．已知數列{a_n}滿足a₁=1，a_n+1=2a_n+1（n∈N^*）．若數列{b_n}滿足：4${\;}^{{b_1}-1}}$•4${\;}^{{b_2}-1}}$•…4${\;}^{{b_n}-1}}$=（a_n+1）^b_n（n∈N^*）．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）求證：{b_n}是等差數列．

Answer 1

分析 （1）數列{a_n}滿足a₁=1，a_n+1=2a_n+1（n∈N^*）．變形為a_n+1+1=2（a_n+1），利用等比數列的通項公式即可得出．
（2）數列{b_n}滿足：${4}^{{b}_{1}-1}•{4}^{{b}_{2}-1}$…$•{4}^{{b}_{n-1}-1}$•${4}^{{b}_{n}-1}$=$（{a}_{n}+1）^{{b}_{n}}$=${2}^{n{b}_{n}}$，n≥2時，${4}^{{b}_{1}-1}•{4}^{{b}_{2}-1}$…$•{4}^{{b}_{n-1}-1}$=${2}^{（n-1）{b}_{n-1}}$，可得${4}^{{b}_{n}-1}$=${2}^{n{b}_{n}-（n-1）{b}_{n-1}}$，化為：2（b_n-1）=nb_n-（n-1）b_n-1，可得：2（b_n+1-1）=（n+1）b_n+1-nb_n，相減化簡即可證明．

解答 解：（1）數列{a_n}滿足a₁=1，a_n+1=2a_n+1（n∈N^*）．
∴a_n+1+1=2（a_n+1），
∴數列{a_n+1}是等比數列，首項為2，公比為2．
∴a_n+1=2ⁿ，∴a_n=2ⁿ-1．
（2）證明：數列{b_n}滿足：${4}^{{b}_{1}-1}•{4}^{{b}_{2}-1}$…$•{4}^{{b}_{n-1}-1}$•${4}^{{b}_{n}-1}$=$（{a}_{n}+1）^{{b}_{n}}$=${2}^{n{b}_{n}}$
n=1時，${4}^{{b}_{1}-1}$=${2}^{{b}_{1}}$，解得b₁=2．
n≥2時，${4}^{{b}_{1}-1}•{4}^{{b}_{2}-1}$…$•{4}^{{b}_{n-1}-1}$=${2}^{（n-1）{b}_{n-1}}$，
可得${4}^{{b}_{n}-1}$=${2}^{n{b}_{n}-（n-1）{b}_{n-1}}$，化為：2（b_n-1）=nb_n-（n-1）b_n-1，
可得：2（b_n+1-1）=（n+1）b_n+1-nb_n，
相減可得：（n-1）b_n+1+（n-1）b_n-1=2（n-1）•b_n，
化為：b_n+1+b_n-1=2•b_n，
∴{b_n}是等差數列．

點評 本題考查了等差數列與等比數列的定義通項公式、指數運算性質、數列遞推關系，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．