Question

15．設橢圓E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{1}{2}$，E上一點P到右焦點距離的最小值為1．
（1）求橢圓E的方程；
（2）過點（0，2）且傾斜角為60°的直線交橢圓E于A，B兩點，求△AOB的面積．

Answer 1

分析 （1）由題意橢圓的離心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，a-c=1，解出a，c 及b的值即可；
（2）先求出直線的方程y=$\sqrt{3}$x+2，代入橢圓方程，由韋達定理及弦長公式求出弦長丨AB丨，再求出點O到直線的距離，即可求△AOB的面積．

解答 解：（1）由題意得e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，a=2c，a-c=1，
∴a=2，c=1，
故b²=a²-c²=3，
∴橢圓的方程為$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$；
（2）過點P（0，2）且傾斜角為60°的直線l的方程為：y=$\sqrt{3}$x+2，
代入橢圓方程$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$，可得15x²+16$\sqrt{3}$x+4=0，判別式△＞0恒成立，
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁+x₁=-$\frac{16\sqrt{3}}{15}$，x₁x₁=$\frac{4}{15}$，
∴丨AB丨=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•丨x₁-x₁丨=2$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{4\sqrt{177}}{15}$，
由點O到直線AB的距離d=$\frac{2}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=1，
∴△AOB的面積S=$\frac{1}{2}$丨AB丨•d=$\frac{4\sqrt{177}}{15}$，
∴△AOB的面積$\frac{4\sqrt{177}}{15}$．

點評 本題考查橢圓的標準方程及簡單幾何性質，直線與橢圓的位置關系，考查韋達定理，弦長公式及三角形面積公式的應用，考查計算能力，屬于中檔題．