Question

11．求滿足下列條件的橢圓的標準方程
（1）焦點分別為（0，-2），（0，2），經過點（4，$3\sqrt{2}$） 
（2）經過兩點（2，$-\sqrt{2}$），（$-1，\frac{{\sqrt{14}}}{2}$）

Answer 1

分析 （1）設出橢圓的標準方程，代入點的坐標，結合c=2，即可求得橢圓的標準方程；
（2）設出橢圓的標準方程，代入點的坐標，即可求得橢圓的標準方程．

解答 解：（1）依題意，設所求橢圓方程為$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）
因為點（4，3$\sqrt{2}$），在橢圓上，又c=2，得 $\left\{\begin{array}{l}{\frac{18}{{a}^{2}}+\frac{16}{{b}^{2}}=1}\\{{a}^{2}-{b}^{2}=4}\end{array}\right.$，
解得a=6，b=4$\sqrt{2}$…（10分）
故所求的橢圓方程是$\frac{{y}^{2}}{36}+\frac{{x}^{2}}{32}$=1；
（2）設橢圓方程為mx²+ny²=1，則
∵經過兩點（2，$-\sqrt{2}$），（$-1，\frac{{\sqrt{14}}}{2}$），
∴$\left\{\begin{array}{l}{4m+2n=1}\\{m+\frac{7}{2}n=1}\end{array}\right.$，∴$m=\frac{1}{8}$，n=$\frac{1}{4}$，
∴橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{4}$=1．

點評 本題考查橢圓的標準方程，考查學生的計算能力，屬于基礎題．