Question

16．已知橢圓$\frac{{x}^{2}}{16}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1，過(guò)點(diǎn)P（2，1）且被點(diǎn)P平分的橢圓的弦所在的直線方程是（　　）

• A． 8x+y-17=0
• B． x+2y-4=0
• C． x-2y=0
• D． 8x-y-15=0

Answer 1

分析 設(shè)直線交橢圓于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），把兩點(diǎn)坐標(biāo)代入橢圓方程，利用點(diǎn)差法求得弦所在直線的斜率，則利用點(diǎn)斜式求得弦所在的直線方程．

解答 解：設(shè)直線與橢圓交于點(diǎn)A，B，再設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由題意得$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{{x}_{1}}^{2}}{16}+\frac{{{y}_{1}}^{2}}{4}=1}\\{\frac{{{x}_{2}}^{2}}{16}+\frac{{{y}_{2}}^{2}}{4}=1}\end{array}\right.$，兩式相減，化簡(jiǎn)可得（${{x}_{1}}^{2}{{-x}_{2}}^{2}$）+4（${{y}_{1}}^{2}$-${{y}_{2}}^{2}$ ）=0，
即$\frac{{y}_{1}{-y}_{2}}{{x}_{1}{-x}_{2}}$=-$\frac{{x}_{1}{+x}_{2}}{4{（y}_{1}{+y}_{2}）}$．
∵點(diǎn)M（2，1）是AB的中點(diǎn)，∴x₁ +x₂=4，y₁+y₂ =2，
∴k_AB=即$\frac{{y}_{1}{-y}_{2}}{{x}_{1}{-x}_{2}}$=-$\frac{{x}_{1}{+x}_{2}}{4{（y}_{1}{+y}_{2}）}$=-$\frac{4}{4•2}$=-$\frac{1}{2}$，
故被點(diǎn)P平分的橢圓的弦所在的直線方程是y-1=-$\frac{1}{2}$（x-2），
即 x+2y-4=0，
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了直線與橢圓相交關(guān)系的應(yīng)用，訓(xùn)練了“舍而不求”的解題思想方法，利用點(diǎn)斜式求直線的方程，屬于中檔題．