Question

19．已知f（x）=x（1-a|x|），設關于x的不等式f（x）＜f（x+a）的解集為A，若[-1，1]⊆A，則實數a的取值范圍是$（{0，\sqrt{2}-1}）$．

Answer 1

分析 通過討論x的范圍，得出函數的表達式，通過討論a的范圍，結合二次函數的性質，從而得出a的范圍．

解答 解：當x≥0時，f（x）=x-ax²=-a（x-$\frac{1}{2a}$）²+$\frac{1}{4a}$，
當x＜0時，g（x）=x+ax²=a（x+$\frac{1}{2a}$）²-$\frac{1}{4a}$，
當a=0時，A是空集，舍去，
當a＜0時，二次函數f（x）開口向上，對稱軸x=$\frac{1}{2a}$，f（x）在x≥0上是增函數，A是空集，
二次函數g（x）開口向下，對稱軸x=$\frac{1}{2a}$，g（x）在x＜0上是增函數，A是空集，
當a＞0時，二次函數f（x）開口向下，在[0，-$\frac{1}{2a}$]上是增函數，在（-$\frac{1}{2a}$，+∞）上是減函數，
二次函數g（x）開口向上，在（-∞，-$\frac{1}{2a}$]上是減函數，在（-$\frac{1}{2a}$，0）上是增函數，
∴a＞0時，A非空集，
對于任意的[-1，1]⊆A，f（x+a）＞f（x）成立．
當x≤0時，g（x+a）＞g（x）=g（-$\frac{1}{a}$-x），由g（x）區間單調性知，
x+a＞x且x+a＜-$\frac{1}{a}$-x，解得0＜a＜$\sqrt{2}$-1
當x＞0時，函數f（x）在單調增區間內滿足f（x+a）＞f（x），
∴a的取值范圍為，0＜a＜$\sqrt{2}$-1．
故答案為$（{0，\sqrt{2}-1}）$．

點評 本題考查了函數的單調性問題，考查了二次函數的性質，考查分類討論思想，是一道中檔題．