Question

9．在直角坐標系xOy中，曲線C₁的參數方程為$\left\{\begin{array}{l}x=\sqrt{2}cosα\\ y=sinα\end{array}\right.$（α為參數），以原點O為極點，x軸的正半軸為級軸，建立極坐標系，曲線C₂的極坐標方程ρsin（θ+$\frac{π}{4}$）=4$\sqrt{2}$
（I）求曲線C₁的普通方程和曲線C₂的直角坐標方程；
（Ⅱ）設P為曲線C₁上的動點，求點P到曲線C₂上的距離的最小值的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由曲線C₁：$\left\{\begin{array}{l}x=\sqrt{2}cosα\\ y=sinα\end{array}\right.$（α為參數），利用平方關系可得曲線C₁的普通方程．由曲線C₂：ρsin（π+$\frac{π}{4}$）=4$\sqrt{2}$，展開可得：$ρ×\frac{\sqrt{2}}{2}$（sinθ+cosθ）=4$\sqrt{2}$，利用互化公式可得直角坐標方程．
（Ⅱ）橢圓上的點$P（\sqrt{2}cosα，sinα）$到直線O的距離為$d=\frac{{|{\sqrt{2}cosα+sinα-8}|}}{{\sqrt{2}}}=\frac{{|{\sqrt{3}sin（α+φ）-8}|}}{{\sqrt{2}}}$，利用三角函數的單調性與值域即可得出．

解答 解：（Ⅰ）由曲線C₁：$\left\{\begin{array}{l}x=\sqrt{2}cosα\\ y=sinα\end{array}\right.$（α為參數），曲線C₁的普通方程為：$\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$．
由曲線C₂：ρsin（π+$\frac{π}{4}$）=4$\sqrt{2}$，展開可得：$ρ×\frac{\sqrt{2}}{2}$（sinθ+cosθ）=4$\sqrt{2}$，化為：x+y=8．
即：曲線B的直角坐標方程為：x+y=8．…（5分）
（Ⅱ）橢圓上的點$P（\sqrt{2}cosα，sinα）$到直線O的距離為$d=\frac{{|{\sqrt{2}cosα+sinα-8}|}}{{\sqrt{2}}}=\frac{{|{\sqrt{3}sin（α+φ）-8}|}}{{\sqrt{2}}}$
∴當sin（α+φ）=1時，P的最小值為$\frac{{8\sqrt{2}-\sqrt{6}}}{2}$．…（10分）

點評 本題考查參數方程化為普通方程、極坐標方程化為直角坐標方程、點到直線的距離公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．