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6.直線l經(jīng)過點P(5,5),其斜率為k,直線l與圓x2+y2=25相交,交點分別為A,B.
(1)若AB=4$\sqrt{5}$,求k的值;
(2)若AB<2$\sqrt{7}$,求k的取值范圍;
(3)若OA⊥OB(O為坐標原點),求k的值.

分析 (1)分情況討論斜率是否存在,直接利用點到直線的距離公式即可求出k值;
(2)利用點到直線距離關系判斷圓與直線的位置關系,列出不等式即可;
(3)因為OA⊥OB,OA=OB,故△OAB是等腰直角三角形,再次利用點到直線的距離即可求出k值;

解答 解:當直線l斜率不存在時,直線方程為x=5,此時直線l與圓x2+y2=25相切,不合題意.
設直線l的方程為y-5=k(x-5),即kx-y+5-5k=0,
由題得:$\frac{{|{5-5k}|}}{{\sqrt{{k^2}+1}}}=\sqrt{{5^2}-{{(2\sqrt{5})}^2}}$,化簡得:2k2-5k+2=0,解得$k=\frac{1}{2}$或k=2.
(2)由$AB<2\sqrt{7}$得$2\sqrt{{5^2}-{d^2}}<2\sqrt{7}$,得d2>18,
即${({\frac{{|{5-5k}|}}{{\sqrt{{k^2}+1}}}})^2}>18$,解得$k<\frac{1}{7}$或k>7.
又因為直線l與圓x2+y2=25交與兩點,所以d<5,
即$\frac{{|{5-5k}|}}{{\sqrt{{k^2}+1}}}<5$,解得k>0
所以k的取值范圍為$0<k<\frac{1}{7}$或k>7.
(3)∵OA⊥OB,OA=OB,∴△OAB是等腰直角三角形.
∴O到直線l的距離$d=\frac{{5\sqrt{2}}}{2}$,即$\frac{{|{5-5k}|}}{{\sqrt{{k^2}+1}}}=\frac{{5\sqrt{2}}}{2}$,
解得$k=2±\sqrt{3}$.

點評 本題主要考查了直線與圓的位置關系,點到直線的距離公式以及直線斜率等知識點,屬中等題.

練習冊系列答案
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