Question

19．四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是邊長為2的菱形，∠DAB=$\frac{2π}{3}$，AC∩BD=O，且PO⊥平面ABCD，PO=$\sqrt{3}$，點F，G分別是線段PB，PD上的中點，E在PA上，且PA=3PE．
（Ⅰ）求證：BD∥平面EFG；
（Ⅱ）求直線AB與平面EFG的成角的正弦值；
（Ⅲ）請畫出平面EFG與四棱錐的表面的交線，并寫出作圖的步驟．

Answer 1

分析 （Ⅰ）推導出FG∥BD，由此能證明BD∥平面EFG．
（Ⅱ）推導出OA⊥OB，PO⊥OA，PO⊥OB，以O為原點，OA、OB、OP分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出直線AB與平面EFG的成角的正弦值．
（Ⅲ）法1：延長EF，EG分別交AB，AD延長線于M，N，連接MN，發現剛好過點C，連接CG，CF，則四邊形EFCG為平面EFG與四棱錐的表面的交線．
法2：記平面EFG與直線PC的交點為H，設$\overrightarrow{PH}=λ\overrightarrow{PC}$，利用向量法求出λ=1．從而H即為點C．連接CG，CF，則四邊形EFCG為平面EFG與四棱錐的表面的交線．

解答 證明：（Ⅰ）在△PBD中，
∵點F，G分別是線段PB，PD上的中點，
∴FG∥BD，
∵BD?平面EFG，FG?平面EFG，
∴BD∥平面EFG．
解：（Ⅱ）∵底面ABCD是邊長為2的菱形，
∴OA⊥OB，
∵PO⊥平面ABCD，∴PO⊥OA，PO⊥OB，
如圖，以O為原點，OA、OB、OP分別為x，y，z軸，
建立空間直角坐標系，
則$A（1，0，0），B（0，\sqrt{3}，0），C（-1，0，0），D（0，-\sqrt{3}，0），P（0，0，\sqrt{3}）$，$E（\frac{1}{3}，0，\frac{{2\sqrt{3}}}{3}）$，$F（0，\frac{{\sqrt{3}}}{2}，\frac{{\sqrt{3}}}{2}），G（0，-\frac{{\sqrt{3}}}{2}，\frac{{\sqrt{3}}}{2}）$，
∴$\overrightarrow{AB}=（-1，\sqrt{3}，0）$，$\overrightarrow{EF}=（-\frac{1}{3}，\frac{{\sqrt{3}}}{2}，-\frac{{\sqrt{3}}}{6}）$，$\overrightarrow{GF}=（0，\sqrt{3}，0）$，
設平面EFG的法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{EF}=-\frac{1}{3}x+\frac{\sqrt{3}}{2}y-\frac{\sqrt{3}}{6}z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CE}=\sqrt{3}y=0}\end{array}\right.$，令$x=\sqrt{3}$，得$\overrightarrow{n}$=（-$\frac{3}{2}，0，\sqrt{3}$），
∵cos＜$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{AB}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{\sqrt{21}}{14}$，
∴直線AB與平面EFG的成角的正弦值為$\frac{{\sqrt{21}}}{14}$．
（Ⅲ）法1：延長EF，EG分別交AB，AD延長線于M，N，連接MN，發現剛好過點C，
連接CG，CF，
則四邊形EFCG為平面EFG與四棱錐的表面的交線．
法2：記平面EFG與直線PC的交點為H，設$\overrightarrow{PH}=λ\overrightarrow{PC}$，
則$\overrightarrow{FH}=\overrightarrow{FP}+\overrightarrow{PH}=（0，-\frac{{\sqrt{3}}}{2}，\frac{{\sqrt{3}}}{2}）+λ（-1，0，-\sqrt{3}）=（-λ，-\frac{{\sqrt{3}}}{2}，\frac{{（1-2λ）\sqrt{3}}}{2}）$
由$\overrightarrow{FH}•\overrightarrow{n}$=（-$λ，-\frac{\sqrt{3}}{2}，\frac{（1-2λ）\sqrt{3}}{2}$）•（-$\frac{3}{2}，0，\sqrt{3}$）=0，解得λ=1．
所以H即為點C．
所以連接CG，CF，則四邊形EFCG為平面EFG與四棱錐的表面的交線．

點評 本題考查線面平行的證明，考查線面角的正弦值的求法，考查平面與四棱錐的交線的作法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關系等基礎知識，考查空間想象能力、運算求解能力、推理論證能力，考查化歸與轉化思想、函數與方程思想、數形結合思想，考查創新意識、應用意識，是中檔題．