Question

9．在平面直角坐標系xOy中，已知△ABC頂點A（-4，0）和C（4，0）頂點B在橢圓$\frac{{x}^{2}}{25}+\frac{{y}^{2}}{9}$=1上，則$\frac{sinA+sinC}{sin（A+C）}$=（　　）

• A． $\frac{4}{3}$
• B． $\frac{5}{3}$
• C． $\frac{4}{5}$
• D． $\frac{5}{4}$

Answer 1

分析 由題意畫出圖形，求出橢圓的長軸及焦距長，再由正弦定理把$\frac{sinA+sinC}{sin（A+C）}$轉化為三角形邊的關系得答案．

解答 解：由橢圓$\frac{{x}^{2}}{25}+\frac{{y}^{2}}{9}$=1，得c=4，
則A（-4，0）和C（4，0）為橢圓$\frac{{x}^{2}}{25}+\frac{{y}^{2}}{9}$=1的兩個焦點．
∵B在橢圓$\frac{{x}^{2}}{25}+\frac{{y}^{2}}{9}$=1上，
∴a+c=10，b=8．
$\frac{sinA+sinC}{sin（A+C）}$=$\frac{sinA+sinC}{sinB}=\frac{a+c}{b}$=$\frac{10}{8}=\frac{5}{4}$．
故選：D．

點評 本題考查橢圓的簡單性質，考查了正弦定理及橢圓定義的應用，是中檔題．