Question

14．如圖，四邊形ABCD為矩形，SA⊥平面ABCD，E、F分別是SC、SD的中點，SA=AD=2，$AB=\sqrt{6}$
（I）求證：EF∥平面SAB；
（Ⅱ）求證：SD⊥平面AEF；
（Ⅲ）求三棱錐S-AEF體積的大小．

Answer 1

分析 （Ⅰ）推導出EF是△SCD的邊CD的中位線，從而EF∥CD，由四邊形ABCD為矩形，得CD∥AB，從而EF∥AB，由此能證明EF∥平面SAB．
（Ⅱ）推導出SD⊥AF，AB⊥SA，從而AB⊥平面SAD，進而SD⊥AB，由EF∥AB，得SD⊥EF，由此能證明SD⊥平面AEF．
（Ⅲ）EF⊥平面SAD，從而△AEF為直角三角形，求出${S_{△AEF}}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，三棱錐S-AFE的高為SF=$\sqrt{2}$，由此能求出三棱錐S-AFE的體積．

解答 證明：（Ⅰ）∵E、F分別為SC、SD的中點，∴EF是△SCD的邊CD的中位線，
∴EF∥CD…（1分）
∵四邊形ABCD為矩形，∴CD∥AB，∴EF∥AB…（2分）
∵AB?平面SAB，EF?平面SAB，
∴EF∥平面SAB．…（4分）
（Ⅱ）∵SA=AD，F為SD的中點，∴SD⊥AF，…（5分）
∵SA⊥平面ABCD，AB?平面ABCD，∴AB⊥SA，
∵AB⊥AD，SA，AD是平面SAD內的兩條相交直線，
∴AB⊥平面SAD，
∵SD?平面SAD，∴SD⊥AB，…（7分）
∵EF∥AB，∴SD⊥EF，…（8分）
∵AF、EF是平面AEF內的兩條相交直線，
∴SD⊥平面AEF．…（9分）
解：（Ⅲ）由（Ⅱ）知EF⊥平面SAD，
∴△AEF為直角三角形，∴${S_{△AEF}}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，…（11分）
∵三棱錐S-AFE的高為SF=$\sqrt{2}$，
∴三棱錐S-AFE的體積$\frac{{\sqrt{6}}}{6}$．…（13分）

點評 本題考查線面平行、線面垂直的證明，考查幾何體的體積的求法，考查推理論證能力、運算求解能力、空間想象能力，考查數形結合思想、化歸與轉化思想、函數與方程思想，考查創新意識、應用意識，是中檔題．