Question

4．已知函數f（x）=$\frac{lnx}{x}$，g（x）=$\frac{m}{x}$+$\frac{1}{2}$（m∈R）．
（Ⅰ）當m=1時，求曲線y=g（x）在x=1處的切線方程；
（Ⅱ）求f（x）的單調區間并比較2017${\;}^{\frac{1}{2017}}$與2016${\;}^{\frac{1}{2016}}$的大小；
（Ⅲ）若對于任意正實數b，關于x的不等式bf（x）＞g（x）在區間[1，e]上恒成立，求實數m的取值范圍．（其中e=2.71828…）

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數的導數，根據導數的幾何意義即可求出切線方程，
（Ⅱ）求出函數的導數，解關于導函數的方程，求出函數的單調區間即可，根據函數的單調性判斷即可；
（Ⅲ）原不等式轉化為blnx＞m+$\frac{x}{2}$在區間[1，e]上恒成立，顯然該函數在[1，e]上單調遞增，從而最小值為0，從而要滿足條件，只需m+$\frac{x}{2}$＜0，從而得到-$\frac{x}{2}$＞m，同樣的辦法求在[1，e]上的最小值，只要該最小值大于m，從而可求出m的取值范圍

解答 解：（Ⅰ）當m=1時，g（x）=$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{2}$，
∴g′（x）=-$\frac{1}{{x}^{2}}$，
∴k=g′（1）=-1，g（1）=1+$\frac{1}{2}$=$\frac{3}{2}$，
∴曲線y=g（x）在x=1處的切線方程為y-$\frac{3}{2}$=-（x-1），即2x+2y-5=0，
（Ⅱ）∵f（x）=$\frac{lnx}{x}$的定義域為（0，+∞），
∴f′（x）=$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$，令f′（x）=0，解得x=e，
當0＜x＜e時，f′（x）＞0，函數f（x）單調遞增，
當x＞e時，f′（x）＜0，函數f（x）單調遞減，
∵2017＞2016，
∴$\frac{ln2017}{2017}$＜$\frac{ln2016}{2016}$，
即ln2017${\;}^{\frac{1}{2017}}$＜ln2016${\;}^{\frac{1}{2016}}$，
∴2017${\;}^{\frac{1}{2017}}$＜2016${\;}^{\frac{1}{2016}}$，
（Ⅲ）對于任意正實數b，關于x的不等式bf（x）＞g（x）在區間[1，e]上恒成立，
∴bxf（x）＞xg（x），
即blnx＞m+$\frac{x}{2}$在區間[1，e]上恒成立，
當b＞0，∴函數blnx在[1，e]上單調遞增；
∴x=1時，函數blnx取最小值0；
∴m+$\frac{x}{2}$＜0，
∴-$\frac{x}{2}$＞m在x∈[1，e]上恒成立；-$\frac{x}{2}$在[1，e]上的最小值為-$\frac{e}{2}$；
∴-$\frac{e}{2}$＞m，即m＜-$\frac{e}{2}$
∴實數m的取值范圍為（-∞，-$\frac{e}{2}$）．

點評 本題考查根據導數的幾何意義，函數導數判斷函數單調性、求函數單調區間的方法，根據單調性求函數的最小值，屬于中檔題