Question

12．已知函數(shù)f（x）=2lnx-ax，g（x）=x²．
（1）若函數(shù)f（x）在（2，f（2））處的切線與函數(shù)g（x）在（2，g（2））處的切線互相平行，求實(shí)數(shù)a的值；
（2）設(shè)函數(shù)H（x）=f（x）-g（x）．
（ⅰ）當(dāng)實(shí)數(shù)a≥0時(shí)，試判斷函數(shù)y=H（x）在[1，+∞]上的單調(diào)性；
（ⅱ）如果x₁，x₂（x₁＜x₂）是H（x）的兩個(gè)零點(diǎn)，H'（x）為函數(shù)H（x）的導(dǎo)函數(shù)，證明：$H'（\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}）＜0$．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求出a的值，
（2）（i）先求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性即可判斷，
（ii）由H（x）=0，可得H（x₁）=2lnx₁-x₁²-ax₁=0，H（x₂）=2lnx₂-x₂²-ax₂=0，通過兩式相減，整理化簡可得a=$\frac{2ln\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$-（x₂+x₁），再代入計(jì)算可得H′（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）=-$\frac{2}{{x}_{2}-{x}_{1}}$[2ln$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$-$\frac{2（\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}-1）}{1+\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}}$]，然后換元，構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的最值即可證明

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=2lnx-ax的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=$\frac{2}{x}$-a，
可得f（x）在（2，f（2））處的切線斜率為k₁=1-a；
g（x）=x²的導(dǎo)數(shù)為g′（x）=2x，
可得函數(shù)g（x）在（2，g（2））處的切線斜率為k₂=4．
由切線平行，可得1-a=4，
解得a=-3．
（2）（i）H（x）=f（x）-g（x）=2lnx-ax-x²，
∴H′（x）=$\frac{2}{x}$-a-2x=-$\frac{2{x}^{2}+ax-2}{x}$，
易知當(dāng)x＞1時(shí)，H′（x）在[1，+∞）上單調(diào)遞減，
∴H′（x）≤H′（1）=-a，
當(dāng)a≥0時(shí)，H′（x）≤0在[1，+∞）恒成立，
∴當(dāng)aa≥0時(shí)，函數(shù)y=H（x）在[1，+∞]上的單調(diào)遞減，
（ii）∵x₁，x₂（x₁＜x₂）是H（x）的兩個(gè)零點(diǎn)，
∴H（x₁）=2lnx₁-x₁²-ax₁=0，H（x₂）=2lnx₂-x₂²-ax₂=0，
兩式相減可得2ln$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$-（x₂²-x₁²）-a（x₂-x₁）=0，
∴a=$\frac{2ln\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$-（x₂+x₁），
∵H′（x）=$\frac{2}{x}$-a-2x，
∴H′（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）=$\frac{4}{{x}_{1}+{x}_{2}}$-（x₂+x₁）-[$\frac{2ln\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$-（x₂+x₁）]=-$\frac{2ln\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$+$\frac{4}{{x}_{1}+{x}_{2}}$=-$\frac{2}{{x}_{2}-{x}_{1}}$[2ln$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$-$\frac{2（{x}_{2}-{x}_{1}）}{{x}_{1}+{x}_{2}}$]=-$\frac{2}{{x}_{2}-{x}_{1}}$[2ln$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$-$\frac{2（\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}-1）}{1+\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}}$]，
不妨設(shè)設(shè)t=ln$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$＞1，構(gòu)造函數(shù)h（t）=lnt-$\frac{2（t-1）}{1+t}$，
則h′（t）=$\frac{（t-1）^{2}}{t（t+1）^{2}}$＞0，
∴h（t）在（1，+∞）上是增函數(shù)，
∴h（e）＞h（1）=0，
∵-$\frac{2}{{x}_{2}-{x}_{1}}$＜0，
∴H′（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）＜0

點(diǎn)評 本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義以及導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的最值，以及函數(shù)零點(diǎn)的問題，以及不等式的證明，考查了學(xué)生的運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)化能力，屬于難題