Question

4．在心理學研究中，常采用對比試驗的方法評價不同心理暗示對人的影響，具體方法如下：將參加試驗的志愿者隨機分成兩組，一組接受甲種心理暗示，另一組接受乙種心理暗示，通過對比這兩組志愿者接受心理暗示后的結果來評價兩種心理暗示的作用，現有6名男志愿者A₁，A₂，A₃，A₄，A₅，A₆和4名女志愿者B₁，B₂，B₃，B₄，從中隨機抽取5人接受甲種心理暗示，另5人接受乙種心理暗示．
（Ⅰ）求接受甲種心理暗示的志愿者中包含A₁但不包含B₁的概率．
（Ⅱ）用X表示接受乙種心理暗示的女志愿者人數，求X的分布列與數學期望EX．

Answer 1

分析 （1）利用組合數公式計算概率；
（2）使用超幾何分布的概率公式計算概率，得出分布列，再計算數學期望．

解答 解：（I）記接受甲種心理暗示的志愿者中包含A₁但不包含B₁的事件為M，
則P（M）=$\frac{{C}_{8}^{4}}{{C}_{10}^{5}}$=$\frac{5}{18}$．
（II）X的可能取值為：0，1，2，3，4，
∴P（X=0）=$\frac{{C}_{6}^{5}}{{C}_{10}^{5}}$=$\frac{1}{42}$，
P（X=1）=$\frac{{{C}_{6}^{4}C}_{4}^{1}}{{C}_{10}^{5}}$=$\frac{5}{21}$，
P（X=2）=$\frac{{{C}_{6}^{3}C}_{4}^{2}}{{C}_{10}^{5}}$=$\frac{10}{21}$，
P（X=3）=$\frac{{{C}_{6}^{2}C}_{4}^{3}}{{C}_{10}^{5}}$=$\frac{5}{21}$，
P（X=4）=$\frac{{{C}_{6}^{1}C}_{4}^{4}}{{C}_{10}^{5}}$=$\frac{1}{42}$．
∴X的分布列為

X	0	1	2	3	4
P	$\frac{1}{42}$	$\frac{5}{21}$	$\frac{10}{21}$	$\frac{5}{21}$	$\frac{1}{42}$

X的數學期望EX=0×$\frac{1}{42}$+1×$\frac{5}{21}$+2×$\frac{10}{21}$+3×$\frac{5}{21}$+4×$\frac{1}{42}$=2．

點評 本題考查了組合數公式與概率計算，超幾何分布的分布列與數學期望，屬于中檔題．