Question

10．等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，a₃=3，S₄=10，則 $\sum_{k=1}^{n}$$\frac{1}{{S}_{k}}$=$\frac{2n}{n+1}$．

Answer 1

分析 利用已知條件求出等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，然后化簡(jiǎn)所求的表達(dá)式，求解即可．

解答 解：等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，a₃=3，S₄=10，S₄=2（a₂+a₃）=10，
可得a₂=2，數(shù)列的首項(xiàng)為1，公差為1，
S_n=$\frac{n（n+1）}{2}$，$\frac{1}{{S}_{n}}$=$\frac{2}{n（n+1）}=2（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$，
則 $\sum_{k=1}^{n}$$\frac{1}{{S}_{k}}$=2[1-$\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}-\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$]=2（1-$\frac{1}{n+1}$）=$\frac{2n}{n+1}$．
故答案為：$\frac{2n}{n+1}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查等差數(shù)列的求和，裂項(xiàng)消項(xiàng)法求和的應(yīng)用，考查計(jì)算能力．