Question

20．如圖，四棱錐P-ABCD中，側面PAD為等邊三角形且垂直于底面ABCD，AB=BC=$\frac{1}{2}$AD，∠BAD=∠ABC=90°．
（1）證明：直線BC∥平面PAD；
（2）若△PCD面積為2$\sqrt{7}$，求四棱錐P-ABCD的體積．

Answer 1

分析 （1）利用直線與平面平行的判定定理證明即可．
（2）利用已知條件轉化求解幾何體的線段長，然后求解幾何體的體積即可．

解答 （1）證明：四棱錐P-ABCD中，∵∠BAD=∠ABC=90°．∴BC∥AD，∵AD?平面PAD，BC?平面PAD，
∴直線BC∥平面PAD；
（2）解：四棱錐P-ABCD中，側面PAD為等邊三角形且垂直于底面ABCD，AB=BC=$\frac{1}{2}$AD，∠BAD=∠ABC=90°．設AD=2x，
則AB=BC=x，CD=$\sqrt{2}x$，O是AD的中點，
連接PO，OC，CD的中點為：E，連接OE，
則OE=$\frac{\sqrt{2}}{2}x$，PO=$\sqrt{3}x$，PE=$\sqrt{P{O}^{2}+O{E}^{2}}$=$\frac{\sqrt{7}x}{\sqrt{2}}$，
△PCD面積為2$\sqrt{7}$，可得：$\frac{1}{2}PE•CD$=2$\sqrt{7}$，
即：$\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{2}}x•\sqrt{2}x=2\sqrt{7}$，解得x=2，PE=2$\sqrt{3}$．
則V _P-ABCD=$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{2}$（BC+AD）×AB×PO=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×（2+4）×2×2\sqrt{3}$=4$\sqrt{3}$．

點評 本題考查直線與平面平行的判定定理的應用，幾何體的體積的求法，考查空間想象能力以及計算能力．