Question

12．已知向量$\overrightarrow{a}$=（cosx，sinx），$\overrightarrow{b}$=（3，-$\sqrt{3}$），x∈[0，π]．
（1）若$\overrightarrow{a}$∥$\overrightarrow{b}$，求x的值；
（2）記f（x）=$\overrightarrow{a}$$•\overrightarrow{b}$，求f（x）的最大值和最小值以及對應的x的值．

Answer 1

分析 （1）根據向量的平行即可得到tanx=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，問題得以解決，
（2）根據向量的數量積和兩角和余弦公式和余弦函數的性質即可求出

解答 解：（1）∵$\overrightarrow{a}$=（cosx，sinx），$\overrightarrow{b}$=（3，-$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{a}$∥$\overrightarrow{b}$，
∴-$\sqrt{3}$cosx=3sinx，
∴tanx=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∵x∈[0，π]，
∴x=$\frac{5π}{6}$，
（2）f（x）=$\overrightarrow{a}$$•\overrightarrow{b}$=3cosx-$\sqrt{3}$sinx=2$\sqrt{3}$（$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosx-$\frac{1}{2}$sinx）=2$\sqrt{3}$cos（x+$\frac{π}{6}$），
∵x∈[0，π]，
∴x+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{7π}{6}$]，
∴-1≤cos（x+$\frac{π}{6}$）≤$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
當x=0時，f（x）有最大值，最大值3，
當x=$\frac{5π}{6}$時，f（x）有最小值，最小值-2$\sqrt{3}$．

點評 本題考查了向量的平行和向量的數量積以及三角函數的化簡和三角函數的性質，屬于基礎題