Question

6．已知數列{a_n}滿足：$\{\frac{a_n}{n}\}$是公差為1的等差數列，且${a_{n+1}}=\frac{n+2}{n}{a_n}+1$．
（1）求數列{a_n}的通項公式a_n；
（2）設${b_n}=\frac{1}{{\sqrt{{a_{n+1}}{a_n}}}}$，求數列{b_n}的前n項和；
（3）設${c_n}=\frac{1}{{\root{4}{a_n}}}$，${c_1}+{c_2}+{c_3}+…+{c_n}≤2\sqrt{n}-1$．

Answer 1

分析 （1）通過${a_{n+1}}=\frac{n+2}{n}{a_n}+1$及公差可知首項$\frac{{a}_{1}}{1}$=1，進而利用等差數列的通項公式可得結論；
（2）通過（1）裂項可知${b_n}=\frac{1}{{（{n+1}）n}}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$，進而并項相加即得結論；
（3）通過（1）放縮、并項相加可得結論．

解答 解：（1）因為$\{\frac{a_n}{n}\}$是公差為1的等差數列，且${a_{n+1}}=\frac{n+2}{n}{a_n}+1$，
所以$\frac{a_2}{2}-{a_1}=1，{a_2}=3{a_1}+1，解之得{a_1}=1$…（2分）
所以$\frac{a_n}{n}=1+（{n-1}）=n$，
所以${a_n}={n^2}$…（4分）
（2）因為${b_n}=\frac{1}{{\sqrt{{a_{n+1}}{a_n}}}}$，
所以${b_n}=\frac{1}{{（{n+1}）n}}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$…（6分）
所以數列{b_n}的前n項和${s_n}=（{1-\frac{1}{2}}）+（{\frac{1}{2}-\frac{1}{3}}）+…+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}=1-\frac{1}{n+1}=\frac{n}{n+1}$…（8分）
（3）因為${c_n}=\frac{1}{{\root{4}{a_n}}}=\frac{1}{{\sqrt{n}}}=\frac{2}{{2\sqrt{n}}}＜\frac{2}{{\sqrt{n}+\sqrt{n-1}}}=2（{\sqrt{n}-\sqrt{n-1}}）（{n≥2}）$…（10分）
   所以${c_1}+{c_2}+{c_3}+…+{c_n}≤1+2（{\sqrt{2}-1}）+2（{\sqrt{3}-\sqrt{2}}）+…+2（{\sqrt{n}-\sqrt{n-1}}）=2\sqrt{n}-1$，
當且僅當n=1時取等號…（12分）

點評 本題是一道關于數列與不等式的綜合題，考查數列的通項及前n項和，考查裂項相消法，注意解題方法的積累，屬于中檔題．