Question

11．已知函數f（x）=2xlnx-1．
（1）求函數f（x）的最小值；
（2）若不等式f（x）≤3x²+2ax恒成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數的導數，解關于導函數的不等式，求出函數的單調區間，從而求出函數的最小值即可；
（2）由題意可得a≥lnx-$\frac{3x}{2}$-$\frac{1}{2x}$，在（0，+∞）上恒成立，構造函數h（x）=lnx-$\frac{3x}{2}$-$\frac{1}{2x}$，h′（x）=-$\frac{（x-1）（3x+1）}{{2x}^{2}}$，求解最大值，即可求解a的取值范圍．

解答 解：（1）函數f（x）的定義域是（0，+∞），
f′（x）=2lnx+2，
令f′（x）＞0，解得：x＞$\frac{1}{e}$
令f′（x）＜0，解得：0＜x＜$\frac{1}{e}$，
故函數f（x）在（0，$\frac{1}{e}$）遞減，在（$\frac{1}{e}$，+∞）遞增；
故f（x）的最小值是f（$\frac{1}{e}$）=-$\frac{2}{e}$-1；
（2）不等式f（x）≤3x³+2ax恒成立，
可得：a≥lnx-$\frac{3x}{2}$-$\frac{1}{2x}$，在（0，+∞）上恒成立，
設h（x）=lnx-$\frac{3x}{2}$-$\frac{1}{2x}$，
h′（x）=$\frac{1}{x}$-$\frac{3}{2}$+$\frac{1}{{2x}^{2}}$=-$\frac{（x-1）（3x+1）}{{2x}^{2}}$，
h′（x）=0，得：x=1，x=-$\frac{1}{3}$（舍去），
當0＜x＜1時，h′（x）＞0，
當x＞1時，h′（x）＜0，
∴當x=1時，h（x）_max=-2，
∴a≥-2，
∴實數a的取值范圍：[-2，+∞）．

點評 本題考查了利用導數在函數單調性中的應用，運用導數求解函數最值，解決不等式恒成立問題，屬于中檔題．