Question

16．已知數列{a_n}滿足a₁=$\frac{1}{5}$，且當n＞1，n∈N^*時，有a_n-1-a_n-4a_n-1•a_n=0．
（1）求證：數列$\left\{{\frac{1}{a_n}}\right\}$為等差數列，并求出數列{a_n}的通項公式；
（2）令b_n=a_n•a_n+1，設數列{b_n}的前n項和為S_n，證明：${S_n}＜\frac{1}{20}$．

Answer 1

分析 （1）通過將a_n-1-a_n=4a_n-1•a_n兩邊同時除以a_n-1•a_n、進而可知數列$\left\{{\frac{1}{a_n}}\right\}$是首項為5、公差為4的等差數列，利用等差數列的通項公式計算可得結論；
（2）通過（1）裂項可知b_n=$\frac{1}{4}$（$\frac{1}{4n+1}$-$\frac{1}{4n+5}$），進而并項相加放縮可得結論．

解答 證明：（1）因為a_n-1-a_n-4a_n-1•a_n=0，
所以a_n-1-a_n=4a_n-1•a_n，
兩邊同時除以a_n-1•a_n得：$\frac{1}{{a}_{n}}$-$\frac{1}{{a}_{n-1}}$=4，
又因為$\frac{1}{{a}_{1}}$=5，
所以數列$\left\{{\frac{1}{a_n}}\right\}$是首項為5、公差為4的等差數列，
所以$\frac{1}{{a}_{n}}$=5+4（n-1）=4n+1，
所以a_n=$\frac{1}{4n+1}$；
（2）由（1）可知b_n=a_n•a_n+1=$\frac{1}{4n+1}$•$\frac{1}{4n+5}$=$\frac{1}{4}$（$\frac{1}{4n+1}$-$\frac{1}{4n+5}$），
所以S_n=$\frac{1}{4}$（$\frac{1}{5}$-$\frac{1}{9}$+$\frac{1}{9}$-$\frac{1}{13}$+…+$\frac{1}{4n+1}$-$\frac{1}{4n+5}$）=$\frac{1}{4}$（$\frac{1}{5}$-$\frac{1}{4n+5}$）＜$\frac{1}{20}$，
即${S_n}＜\frac{1}{20}$．

點評 本題是一道關于數列與不等式的綜合題，考查數列的通項及前n項和，考查裂項相消法，對表達式的靈活變形是解決本題的關鍵，注意解題方法的積累，屬于中檔題．