Question

18．為了研究一種新藥的療效，選100名患者隨機分成兩組，每組各50名，一組服藥，另一組不服藥．一段時間后，記錄了兩組患者的生理指標x和y的數據，并制成如圖，其中“*”表示服藥者，“+”表示未服藥者．
（1）從服藥的50名患者中隨機選出一人，求此人指標y的值小于60的概率；
（2）從圖中A，B，C，D四人中隨機選出兩人，記ξ為選出的兩人中指標x的值大于1.7的人數，求ξ的分布列和數學期望E（ξ）；
（3）試判斷這100名患者中服藥者指標y數據的方差與未服藥者指標y數據的方差的大小．（只需寫出結論）

Answer 1

分析 （1）由圖求出在50名服藥患者中，有15名患者指標y的值小于60，由此能求出從服藥的50名患者中隨機選出一人，此人指標小于60的概率．
（2）由圖知：A、C兩人指標x的值大于1.7，而B、D兩人則小于1.7，可知在四人中隨機選項出的2人中指標x的值大于1.7的人數ξ的可能取值為0，1，2，分別求出相應的概率，由此能求出ξ的分布列和E（ξ）．
（3）由圖知100名患者中服藥者指標y數據的方差比未服藥者指標y數據的方差大．

解答 解：（1）由圖知：在50名服藥患者中，有15名患者指標y的值小于60，
則從服藥的50名患者中隨機選出一人，此人指標小于60的概率為：
p=$\frac{15}{50}$=$\frac{3}{10}$．
（2）由圖知：A、C兩人指標x的值大于1.7，而B、D兩人則小于1.7，
可知在四人中隨機選項出的2人中指標x的值大于1.7的人數ξ的可能取值為0，1，2，
P（ξ=0）=$\frac{1}{{C}_{4}^{2}}=\frac{1}{6}$，
P（ξ=1）=$\frac{{C}_{2}^{1}{C}_{2}^{1}}{{C}_{4}^{2}}$=$\frac{2}{3}$，
P（ξ=2）=$\frac{1}{{C}_{4}^{2}}$=$\frac{1}{6}$，
∴ξ的分布列如下：

ξ	0	1	2
P	$\frac{1}{6}$	$\frac{2}{3}$	$\frac{1}{6}$

E（ξ）=$0×\frac{1}{6}+1×\frac{2}{3}+2×\frac{1}{6}$=1．
（3）由圖知100名患者中服藥者指標y數據的方差比未服藥者指標y數據的方差大．

點評 本題考查概率的求法，考查離散型隨機變量的分布列、數學期望、方差等基礎知識，考查推理論證能力、運算求解能力、空間想象能力，考查數形結合思想、化歸與轉化思想，是中檔題．