Question

9．△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知△ABC的面積為$\frac{a^2}{3sinA}$．
（1）求sinBsinC；
（2）若6cosBcosC=1，a=3，求△ABC的周長．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)三角形面積公式和正弦定理可得答案，
（2）根據(jù)兩角余弦公式可得cosA=$\frac{1}{2}$，即可求出A=$\frac{π}{3}$，再根據(jù)正弦定理可得bc=8，根據(jù)余弦定理即可求出b+c，問題得以解決．

解答 解：（1）由三角形的面積公式可得S_△ABC=$\frac{1}{2}$acsinB=$\frac{a^2}{3sinA}$，
∴3csinBsinA=2a，
由正弦定理可得3sinCsinBsinA=2sinA，
∵sinA≠0，
∴sinBsinC=$\frac{2}{3}$；
（2）∵6cosBcosC=1，
∴cosBcosC=$\frac{1}{6}$，
∴cosBcosC-sinBsinC=$\frac{1}{6}$-$\frac{2}{3}$=-$\frac{1}{2}$，
∴cos（B+C）=-$\frac{1}{2}$，
∴cosA=$\frac{1}{2}$，
∵0＜A＜π，
∴A=$\frac{π}{3}$，
∵$\frac{a}{sinA}$=$\frac{b}{sinB}$=$\frac{c}{sinC}$=2R=$\frac{3}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=2$\sqrt{3}$，
∴sinBsinC=$\frac{b}{2R}$•$\frac{c}{2R}$=$\frac{bc}{（2\sqrt{3}）^{2}}$=$\frac{bc}{12}$=$\frac{2}{3}$，
∴bc=8，
∵a²=b²+c²-2bccosA，
∴b²+c²-bc=9，
∴（b+c）²=9+3cb=9+24=33，
∴b+c=$\sqrt{33}$
∴周長a+b+c=3+$\sqrt{33}$．

點評 本題考查了三角形的面積公式和兩角和的余弦公式和誘導公式和正弦定理余弦定理，考查了學生的運算能力，屬于中檔題．