Question

18．如圖，正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長為a，在此幾何體中，給出下面四個結論：①異面直線A₁D與AB₁所成角為60°；②直線A₁D與BC₁垂直；③直線A₁D與BD₁平行；④三棱錐A-A₁CD的體積為$\frac{1}{6}{a^3}$，其中正確的結論個數是（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 根據題意，求出異面直線A₁D與AB₁所成的角，判斷①正確；
判斷異面直線A₁D與BC₁垂直，得出②正確；
求出異面直線A₁D與BD₁所成的角，判斷③錯誤；
求出三棱錐A-A₁CD的體積，判斷④正確．

解答 解：如圖所示，正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，棱長為a，
對于①，連接DC₁，A₁C₁，則△A₁C₁D是正三角形，∠A₁DC₁是異面直線
A₁D與AB₁所成的角，為60°，①正確；
對于②，連接AD₁，則∠AOA₁是異面直線A₁D與BC₁所成的角，且AD₁⊥A₁D，
∴異面直線A₁D與BC₁垂直，②正確；
對于③，直線A₁D與BD₁是異面直線，異面直線所成的角是60°，∴③錯誤；
對于④，三棱錐A-A₁CD的體積為V=$\frac{1}{3}$•$\frac{1}{2}$•a•$\sqrt{2}$a•$\frac{1}{2}$•$\sqrt{2}$a=$\frac{1}{6}{a^3}$，∴④正確．
綜上，正確的命題序號是①②④，共3個．
故選：C．

點評 本題考查了空間中的平行與異面直線所成的角的應用問題，是綜合題．