Question

5．若雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的一條漸近線被圓（x-2）²+y²=4所截得的弦長為2，則C的離心率為（　�。�

• A． 2
• B． $\sqrt{3}$
• C． $\sqrt{2}$
• D． $\frac{2\sqrt{3}}{3}$

Answer 1

分析 通過圓的圓心與雙曲線的漸近線的距離，列出關系式，然后求解雙曲線的離心率即可．

解答 解：雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的一條漸近線不妨為：bx+ay=0，
圓（x-2）²+y²=4的圓心（2，0），半徑為：2，
雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的一條漸近線被圓（x-2）²+y²=4所截得的弦長為2，
可得圓心到直線的距離為：$\sqrt{{2}^{2}-{1}^{2}}=\sqrt{3}$=$\frac{|2b|}{\sqrt{{a}^{2}+^{2}}}$，
解得：$\frac{4{c}^{2}-4{a}^{2}}{{c}^{2}}=3$，可得e²=4，即e=2．
故選：A．

點評 本題考查雙曲線的簡單性質的應用，圓的方程的應用，考查計算能力．