Question

13．在△ABC中，$tanA=\frac{1}{4}，tanB=\frac{3}{5}$，若△ABC最小邊為$\sqrt{2}$，則△ABC最大邊的邊長為$\sqrt{17}$．

Answer 1

分析 △ABC中，由條件可得 0＜A＜B＜$\frac{π}{4}$，sinA=$\frac{1}{\sqrt{17}}$，可得a為最小邊，a=$\sqrt{2}$，c為最大邊．根據tan（A+B）的值，可得A+B=$\frac{π}{4}$，C=$\frac{3π}{4}$，再由正弦定理求得c的值．

解答 解：△ABC中，∵已知tanA$tanA=\frac{1}{4}，tanB=\frac{3}{5}$，
∴0＜A＜B＜$\frac{π}{4}$，C＞$\frac{π}{2}$，sinA=$\frac{1}{\sqrt{17}}$，∴a為最小邊，a=$\sqrt{2}$．
再根據C為最大角，可得邊c為最大邊．
∵tan（A+B）=$\frac{tanA+tanB}{1-tanAtanB}$=$\frac{\frac{1}{4}+\frac{3}{5}}{1-\frac{1}{4}×\frac{3}{5}}$=1，∴A+B=$\frac{π}{4}$，∴C=$\frac{3π}{4}$．
再由正弦定理可得$\frac{a}{sinA}=\frac{c}{sinC}$，即$\frac{\sqrt{2}}{\frac{1}{\sqrt{17}}}$=$\frac{c}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$，求得 c=$\sqrt{17}$．
故答案為：$\sqrt{17}$．

點評 本題主要考查正弦定理的應用，兩角和的正切函數公式的應用，大邊對大角，屬于基礎題．