Question

3．在△ABC中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c．已知a＞b，a=5，c=6，sinB=$\frac{3}{5}$．
（Ⅰ）求b和sinA的值；
（Ⅱ）求sin（2A+$\frac{π}{4}$）的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知結合同角三角函數基本關系式求得cosB，再由余弦定理求得b，利用正弦定理求得sinA；
（Ⅱ）由同角三角函數基本關系式求得cosA，再由倍角公式求得sin2A，cos2A，展開兩角和的正弦得答案．

解答 解：（Ⅰ）在△ABC中，∵a＞b，
故由sinB=$\frac{3}{5}$，可得cosB=$\frac{4}{5}$．
由已知及余弦定理，有${b}^{2}={a}^{2}+{c}^{2}-2accosB=25+36-2×5×6×\frac{4}{5}$=13，
∴b=$\sqrt{13}$．
由正弦定理$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}$，得sinA=$\frac{asinB}{b}=\frac{3\sqrt{13}}{13}$．
∴b=$\sqrt{13}$，sinA=$\frac{3\sqrt{13}}{13}$；
（Ⅱ）由（Ⅰ）及a＜c，得cosA=$\frac{2\sqrt{13}}{13}$，∴sin2A=2sinAcosA=$\frac{12}{13}$，
cos2A=1-2sin²A=-$\frac{5}{13}$．
故sin（2A+$\frac{π}{4}$）=$sin2Acos\frac{π}{4}+cos2Asin\frac{π}{4}$=$\frac{12}{13}×\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{5}{13}×\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{7\sqrt{2}}{26}$．

點評 本題考查正弦定理和余弦定理在解三角形中的應用，考查倍角公式的應用，是中檔題．