Question

15．已知函數f（x）=$\left\{\begin{array}{l}|x|+2，x＜1\\ x+\frac{2}{x}，x≥1.\end{array}$，設a∈R，若關于x的不等式f（x）≥|$\frac{x}{2}$+a|在R上恒成立，則a的取值范圍是（　　）

• A． [-2，2]
• B． $[-2\sqrt{3}，2]$
• C． $[-2，2\sqrt{3}]$
• D． $[-2\sqrt{3}，2\sqrt{3}]$

Answer 1

分析 根據題意，作出函數f（x）的圖象，令g（x）=|$\frac{x}{2}$+a|，分析g（x）的圖象特點，將不等式f（x）≥|$\frac{x}{2}$+a|在R上恒成立轉化為函數f（x）的圖象在g（x）上的上方或相交的問題，分析可得f（0）≥g（0），即2≥|a|，解可得a的取值范圍，即可得答案．

解答 解：根據題意，函數f（x）=$\left\{\begin{array}{l}|x|+2，x＜1\\ x+\frac{2}{x}，x≥1.\end{array}$的圖象如圖：
令g（x）=|$\frac{x}{2}$+a|，其圖象與x軸相交與點（-2a，0），
在區間（-∞，-2a）上為減函數，在（-2a，+∞）為增函數，
若不等式f（x）≥|$\frac{x}{2}$+a|在R上恒成立，則函數f（x）的圖象在
g（x）上的上方或相交，
則必有f（0）≥g（0），
即2≥|a|，
解可得-2≤a≤2，
故選：A．

點評 本題考查分段函數的應用，關鍵是作出函數f（x）的圖象，將函數的恒成立問題轉化為圖象的上下位置關系．