Question

3．若函數$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{3^x}-a，x≤1\\ ln（{x-1}），x＞1\end{array}\right.$有兩個不同的零點，則實數a的取值范圍是（0，1]．

Answer 1

分析 由f（x）=ln（x-1）=0，得x=2．由題意得，當x≤1時，函數f（x）=3^x-a還有一個零點，運用指數函數的單調性，即可求出a的取值范圍．

解答 解：當x＞1時，由f（x）=ln（x-1）=0，得x=2．
∵函數f（x）有兩個不同的零點，
∴當x≤1時，函數f（x）=3^x-a還有一個零點，
令f（x）=0得a=3^x，
∵0＜3^x≤3⁰=1，∴0＜a≤1，
∴實數a的取值范圍是0＜a≤1．
故答案為：（0，1]．

點評 本題考查指數函數的單調性和運用，考查對數的性質及應用，函數的零點問題，屬于中檔題．