Question

14．已知函數f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{（\frac{1}{2}）^{x}，x＜0}\\{x-2，x≥0}\end{array}\right.$，若f[f（-2）]=a，實數x，y滿足約束條件$\left\{\begin{array}{l}{x-a≥0}\\{x+y≤6}\\{2x-y≤6}\end{array}\right.$，則目標函數z=$\frac{3x+4y+10}{x+2}$的最大值為8．

Answer 1

分析 根據分段函數的表達式，求出a的值，作出不等式組對應的平面區域，利用分式函數的性質結合直線斜率的公式進行求解即可．

解答 解：f（-2）=$（\frac{1}{2}）^{-2}$=4，
則a=f[f（-2）]=f（4）=4-2=2，
則約束條件為$\left\{\begin{array}{l}{x-2≥0}\\{x+y≤6}\\{2x-y≤6}\end{array}\right.$，
作出不等式組對應的平面區域如圖：
z=$\frac{3x+4y+10}{x+2}$=$\frac{3（x+2）+4y+4}{x+2}$=3+4•$\frac{y+1}{x+2}$，
設k=$\frac{y+1}{x+2}$，
則k的幾何意義是區域內的點到定點D（-2，-1）的斜率，
則z=3+4k，
由圖象知AD的斜率最大，
由$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{x+y=6}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=4}\end{array}\right.$，即A（2，4），
此時k=$\frac{4+1}{2+2}$=$\frac{5}{4}$，
則z=3+4×$\frac{5}{4}$=3+4=8，
即目標函數z=$\frac{3x+4y+10}{x+2}$的最大值為8，
故答案為：8

點評 本題主要考查線性規劃的應用，根據條件求出a的值，利用分式的應用轉化為直線斜率問題是解決本題的關鍵．